Chapitre 13 • Annexes
Premier exemple : la m a tr ic e A =
1 d e la « tr a n s f o r m a tio n d u r e lie u r » ( § 4 . 1 )
s ’o b tie n t e n a jo u ta n t à la m a tr ic e u n ité / la m a tr ic e nilpotente ( c ’e s t- à - d ir e d e c a rr é
n u l) N = | q Q j* ^ l ’u n iq u e v a le u r p r o p r e 1 c o r r e s p o n d u n s o u s -e s p a c e p r o p r e d e
d im e n s io n 1.
Deuxième exemple : la m a tr ic e A =
2 1 0
p o s s è d e c o m m e v a le u r p r o p re trip le
0 2 1
0 0 2,
À = 2. L ’e s p a c e p r o p re c o r r e s p o n d a n t, g é n é r é p a r le v e c te u r (1 , 0 , 0 ) ^ e s t d e d im e n -
p 1 0^
s io n 1. A n ’e s t d ia g o n a lis a b le ni d a n s C n i d a n s R . Ic i, A = 2 . 1 + 0 0 1
0 0 0
, a v e c
N
T J
O
c
rj
û
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
9Î: 0 e t
= 0 : o n d it q u e N e s t nilpotente d’ordre 3.
L e s c o n s ta ta tio n s s u r la n ilp o te n c e fa ite s à p a r tir d e c e s d e u x e x e m p le s se g é n é r a
lis e n t :
(0 1
L a m a tr ic e N =
e s t nilpotente d’ordre p , c a r
^
0 e t
= 0.
nxn
C e c i s e d é d u it d e l ’in te r p r é ta tio n d e l ’e n d o m o r p h is m e N : c h a q u e v e c te u r d e b a s e ej
d e v ie n t e j- \, s a u f e\ q u i d e v ie n t 0.
Remarques
1. Toute matrice p x p nilpotente d’ordre p est semblable à une matrice du type N
ci-dessus.
L’idée de la démonstration est la suivante : si N est nilpotente d’ordre n, alors il
existe X dans E tel que
0 (sinon N serait nilpotente d’ordre au plus p - 1).
On montre alors que le système jc, Nx,
Np~ ^ x est libre : il constitue une base
dans laquelle l’endomorphisme nilpotent a la forme indiquée.
2. Multiplier une matrice p x p quelconque par N à gauche revient à décaler toutes
ses lignes d’un rang vers le haut, la dernière étant remplacée par des 0.
De même, multiplier une matrice p x p quelconque par N à droite revient à décaler
toutes ses colonnes d’un rang vers la droite, la première étant remplacée par
des 0.
3. Si A est un endomorphisme nilpotent d’ordre k, alors lim
Ik' At\
= 0,
t^O O p
car
= I + At+
+ ... + — —
, tous les autres termes étant nuis.
2!
A
Donc, - = - + — +
E
(k- 1)!
, qui tend vers 0 quand t -> œ.
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Premier exemple : la m a tr ic e A =
1 d e la « tr a n s f o r m a tio n d u r e lie u r » ( § 4 . 1 )
s ’o b tie n t e n a jo u ta n t à la m a tr ic e u n ité / la m a tr ic e nilpotente ( c ’e s t- à - d ir e d e c a rr é
n u l) N = | q Q j* ^ l ’u n iq u e v a le u r p r o p r e 1 c o r r e s p o n d u n s o u s -e s p a c e p r o p r e d e
d im e n s io n 1.
Deuxième exemple : la m a tr ic e A =
2 1 0
p o s s è d e c o m m e v a le u r p r o p re trip le
0 2 1
0 0 2,
À = 2. L ’e s p a c e p r o p re c o r r e s p o n d a n t, g é n é r é p a r le v e c te u r (1 , 0 , 0 ) ^ e s t d e d im e n -
p 1 0^
s io n 1. A n ’e s t d ia g o n a lis a b le ni d a n s C n i d a n s R . Ic i, A = 2 . 1 + 0 0 1
0 0 0
, a v e c
N
T J
O
c
rj
û
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
9Î: 0 e t
= 0 : o n d it q u e N e s t nilpotente d’ordre 3.
L e s c o n s ta ta tio n s s u r la n ilp o te n c e fa ite s à p a r tir d e c e s d e u x e x e m p le s se g é n é r a
lis e n t :
(0 1
L a m a tr ic e N =
e s t nilpotente d’ordre p , c a r
^
0 e t
= 0.
nxn
C e c i s e d é d u it d e l ’in te r p r é ta tio n d e l ’e n d o m o r p h is m e N : c h a q u e v e c te u r d e b a s e ej
d e v ie n t e j- \, s a u f e\ q u i d e v ie n t 0.
Remarques
1. Toute matrice p x p nilpotente d’ordre p est semblable à une matrice du type N
ci-dessus.
L’idée de la démonstration est la suivante : si N est nilpotente d’ordre n, alors il
existe X dans E tel que
0 (sinon N serait nilpotente d’ordre au plus p - 1).
On montre alors que le système jc, Nx,
Np~ ^ x est libre : il constitue une base
dans laquelle l’endomorphisme nilpotent a la forme indiquée.
2. Multiplier une matrice p x p quelconque par N à gauche revient à décaler toutes
ses lignes d’un rang vers le haut, la dernière étant remplacée par des 0.
De même, multiplier une matrice p x p quelconque par N à droite revient à décaler
toutes ses colonnes d’un rang vers la droite, la première étant remplacée par
des 0.
3. Si A est un endomorphisme nilpotent d’ordre k, alors lim
Ik' At\
= 0,
t^O O p
car
= I + At+
+ ... + — —
, tous les autres termes étant nuis.
2!
A
Donc, - = - + — +
E
(k- 1)!
, qui tend vers 0 quand t -> œ.
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