Annexe 4 : Réduction des endomorphismes
R é d u c t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s q u e l c o n q u e s
L e s m a tr ic e s n ilp o te n te s a p p a r a is s e n t d a n s le th é o r è m e d e r é d u c tio n d ’u n e n d o m o r ­
p h is m e q u e lc o n q u e d ’e s p a c e v e c to r ie l ré e l. L e r é s u lta t e s t le s u iv a n t ; la f o r m e A
in d iq u é e e s t a p p e lé e réduite de Jordan d e la m a tr ic e in itia le :
U n e m a tr ic e réelle q u elco n q u e e s t s e m b la b le à u n e m a tr ic e r é e lle d ia g o n a le p a r
b lo c s , d e la f o r m e :
A =
0 0
0 ^
0
Jk
0
0
Km
0
0
0 0
K , .
' k
1
0 ^
I
0 ^
a v e c Ji =
. 0
■. 1
e t K J =
. 0
■■ I
^ j )
o ù / =
1 0 \
^
-OJj
ùjj
- L e s Ài s o n t le s v a le u r s p r o p r e s r é e lle s d e A ;
- L e s jUj ± iù)j s o n t le s v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s d e A.
T J
O
c
= 3
Q
t H
O
fN J
JZ
DJ
s_
>C L
O
U
Remarques
1. Une même valeur propre À peut apparaître dans plusieurs blocs y,.
De même, un couple donné fj ± io) de valeurs propres complexes conjuguées peut
apparaître dans plusieurs blocs Kj ; les blocs y, ou Kj sont appelés blocs de Jordan.
2. Les y, (resp. les Kj) de dimension 1 (resp. 2) sont simplement les scalaires y, (resp.
les matrices Aj).
3. Les y, de dimension au moins égale à 2 ont une surdiagonale formée de « 1 », et
on a :
0 ^ rO 1
0\
=
+
. 0
Àj.
.0
■ ■ 1
oj
û
©
La dernière matrice est nilpotente d’ordre « nombre de 1 » -H 1
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