Annexe 4 : Réduction des endomorphismes
R é d u c t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s s e m i - s i m p l e s
L a r é d u c tio n d ’u n e n d o m o r p h is m e sem U sim ple ( c ’e s t- à - d ir e d ia g o n a lis a b le s u r C
d ’e s p a c e v e c to r ie l ré e l d o n n e lie u a u r é s u lta t s u iv a n t.
U n e m a tr ic e réelle sem i-sim ple ( c ’e s t- à - d ir e d ia g o n a lis a b le s u r C ) e s t s e m b la b le
à u n e m a tr ic e r é e lle d ia g o n a le p a r b lo c s , d e la f o r m e :
A =
0
0
0 ^
0
Âk
0
0
M+l
0
0
0
0
>
Pj -ù)j
, o u A / = ^
^
- L e s Àj s o n t le s v a le u rs p r o p re s r é e lle s d e A ;
- L e s p j ± icoj s o n t le s v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s d e A.
Remarques
1. À chaque U on associe un sous-espace propre E, de dimension égale au nombre
d’apparitions de /1,. De même, on associe à chaque A, un sous-espace E, stable
par A, dont la dimension est égale au nombre d’apparitions de
multiplié par
deux. Tous les E, sont stables par A, et leur somme directe est £ : £ = Ei ©£2 ® • • ®
£^ : on a effectué la décomposition spectrale de A.
2. On a la formule utile suivante, déjà citée au paragraphe 2.2.3 :
■ O
O
c
n
û
« J D
t H
O
CM
(y)
x:
gi
>•
C L
O
U
a -h \
.
( cos h - sin
SiA = | ,
, alors
= e ^ . ,
h a )
\ sin
cos b
3. Si l’endomorphisme A a « valeurs propres réelles distinctes, alors il est diagonalisable sur R. On a â : = n, et A =
hi /
R a p p e l s s u r l e s m a t r i c e s n i l p o t e n t e s
T o u t e n d o m o r p h is m e n ’e s t p a s s e m i- s im p le , n o u s a llo n s e n d o n n e r d e u x e x e m p le s
p r é lim in a ir e s , d o n t le p r e m ie r a d é jà é té r e n c o n tré . Ils m o n tr e n t l ’im p o r ta n c e d e s
m a tr ic e s n ilp o te n te s .
û
©
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R é d u c t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s s e m i - s i m p l e s
L a r é d u c tio n d ’u n e n d o m o r p h is m e sem U sim ple ( c ’e s t- à - d ir e d ia g o n a lis a b le s u r C
d ’e s p a c e v e c to r ie l ré e l d o n n e lie u a u r é s u lta t s u iv a n t.
U n e m a tr ic e réelle sem i-sim ple ( c ’e s t- à - d ir e d ia g o n a lis a b le s u r C ) e s t s e m b la b le
à u n e m a tr ic e r é e lle d ia g o n a le p a r b lo c s , d e la f o r m e :
A =
0
0
0 ^
0
Âk
0
0
M+l
0
0
0
0
>
Pj -ù)j
, o u A / = ^
^
- L e s Àj s o n t le s v a le u rs p r o p re s r é e lle s d e A ;
- L e s p j ± icoj s o n t le s v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s d e A.
Remarques
1. À chaque U on associe un sous-espace propre E, de dimension égale au nombre
d’apparitions de /1,. De même, on associe à chaque A, un sous-espace E, stable
par A, dont la dimension est égale au nombre d’apparitions de
multiplié par
deux. Tous les E, sont stables par A, et leur somme directe est £ : £ = Ei ©£2 ® • • ®
£^ : on a effectué la décomposition spectrale de A.
2. On a la formule utile suivante, déjà citée au paragraphe 2.2.3 :
■ O
O
c
n
û
« J D
t H
O
CM
(y)
x:
gi
>•
C L
O
U
a -h \
.
( cos h - sin
SiA = | ,
, alors
= e ^ . ,
h a )
\ sin
cos b
3. Si l’endomorphisme A a « valeurs propres réelles distinctes, alors il est diagonalisable sur R. On a â : = n, et A =
hi /
R a p p e l s s u r l e s m a t r i c e s n i l p o t e n t e s
T o u t e n d o m o r p h is m e n ’e s t p a s s e m i- s im p le , n o u s a llo n s e n d o n n e r d e u x e x e m p le s
p r é lim in a ir e s , d o n t le p r e m ie r a d é jà é té r e n c o n tré . Ils m o n tr e n t l ’im p o r ta n c e d e s
m a tr ic e s n ilp o te n te s .
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