Chapitre 13 • Annexes
A n n e x e 4 : R é d u c t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s
M a t r i c e s s e m b l a b l e s d a n s R " o u C ”
D e u x m a tr ic e s A oXB s o n t s e m b l a b l e s si e t s e u le m e n t si e lle s r e p r é s e n te n t le m ê m e
e n d o m o r p h is m e d a n s d e u x b a s e s ( é v e n tu e lle m e n t id e n tiq u e s ) d e E.
C e tte d é fin itio n in tr in s è q u e é q u iv a u t à la d é fin itio n o p é r a to ir e s u iv a n te :
A Q iB s o n t s e m b la b le s si e t s e u le m e n t si il e x is te u n e m a tr ic e P in v e r s ib le te lle q u e
B = p - 'A P .
L a r e la tio n « A e s t s e m b la b le à B », q u e n o u s n o te r o n s A
B, e s t u n e r e la tio n :
- ré fle x iv e c a r A -
A I, où I e s t la m a tr ic e id e n tité ;
- s y m é tr iq u e : A
B
- tra n s itiv e : A ^ B
B ' - C
B = p -^ A P
A = P B P - ' = Q ~ 'B Q , a v e c Q = P~'
B ~ A
B = P - 'A P
C = Q ~ 'B Q = Q - 'P - 'A P Q
= ( P Q ) - 'A ( P Q ) , d ’o ù / l ~ C
■a
O
c
û
« J D
t H
O
CM
(y)
-M
X I
ai
>Q .
O
U
E n c o n c lu s io n : la sim ilitude des m atrices est u n e relation d ’équivalence.
Remarques
1. Si A et fi sont semblables, le fait qu’elles se rapportent au même endomorphisme
implique qu’elles ont les mêmes valeurs propres et vecteurs propres.
Noter que l’identité des spectres n’implique pas la similitude. Ainsi, sur
les
matrices
et ^ |j ont la même valeur propre double 1 mais ne sont pas semblables : la première est semi-simple, la seconde non.
2. Pour certains résultats, la définition opératoire de la similitude est préférable à la
définition intrinsèque. Par exemple, si A et fi sont semblables,
fi = fi 'Afi implique l’égalité des déterminants, qui implique elle-même detA = detfi.
La réciproque est fausse : la remarque 1 fournit un contre-exemple.
3. La similitude ne conserve pas la symétrie d’une matrice (sinon, on pourrait définir
la notion d’endomorphisme symétrique, ce qui n’est pas possible hors structure
euclidienne, contrairement à la notion de forme bilinéaire symétrique).
Par exemple, sur
la projection sur le vecteur e\ parallèlement à e2 est représentée
dans la base (ei, 62) par la matrice ^ | q j. qui est symétrique. En revanche, dans
la base (é 'i, e\ +62), elle se traduit par la matrice fi = ^ j qui n’est pas symétrique.
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A n n e x e 4 : R é d u c t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s
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D e u x m a tr ic e s A oXB s o n t s e m b l a b l e s si e t s e u le m e n t si e lle s r e p r é s e n te n t le m ê m e
e n d o m o r p h is m e d a n s d e u x b a s e s ( é v e n tu e lle m e n t id e n tiq u e s ) d e E.
C e tte d é fin itio n in tr in s è q u e é q u iv a u t à la d é fin itio n o p é r a to ir e s u iv a n te :
A Q iB s o n t s e m b la b le s si e t s e u le m e n t si il e x is te u n e m a tr ic e P in v e r s ib le te lle q u e
B = p - 'A P .
L a r e la tio n « A e s t s e m b la b le à B », q u e n o u s n o te r o n s A
B, e s t u n e r e la tio n :
- ré fle x iv e c a r A -
A I, où I e s t la m a tr ic e id e n tité ;
- s y m é tr iq u e : A
B
- tra n s itiv e : A ^ B
B ' - C
B = p -^ A P
A = P B P - ' = Q ~ 'B Q , a v e c Q = P~'
B ~ A
B = P - 'A P
C = Q ~ 'B Q = Q - 'P - 'A P Q
= ( P Q ) - 'A ( P Q ) , d ’o ù / l ~ C
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O
c
û
« J D
t H
O
CM
(y)
-M
X I
ai
>Q .
O
U
E n c o n c lu s io n : la sim ilitude des m atrices est u n e relation d ’équivalence.
Remarques
1. Si A et fi sont semblables, le fait qu’elles se rapportent au même endomorphisme
implique qu’elles ont les mêmes valeurs propres et vecteurs propres.
Noter que l’identité des spectres n’implique pas la similitude. Ainsi, sur
les
matrices
et ^ |j ont la même valeur propre double 1 mais ne sont pas semblables : la première est semi-simple, la seconde non.
2. Pour certains résultats, la définition opératoire de la similitude est préférable à la
définition intrinsèque. Par exemple, si A et fi sont semblables,
fi = fi 'Afi implique l’égalité des déterminants, qui implique elle-même detA = detfi.
La réciproque est fausse : la remarque 1 fournit un contre-exemple.
3. La similitude ne conserve pas la symétrie d’une matrice (sinon, on pourrait définir
la notion d’endomorphisme symétrique, ce qui n’est pas possible hors structure
euclidienne, contrairement à la notion de forme bilinéaire symétrique).
Par exemple, sur
la projection sur le vecteur e\ parallèlement à e2 est représentée
dans la base (ei, 62) par la matrice ^ | q j. qui est symétrique. En revanche, dans
la base (é 'i, e\ +62), elle se traduit par la matrice fi = ^ j qui n’est pas symétrique.
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