Annexe 3 : Théorème de Cauchy et déterminisme
A n n e x e 3 : T h é o r è m e d e C a u c h y
E T D É T E R M I N I S M E
L e théorème de Cauchy-Lipschitz e s t c la s s iq u e e t e n s e ig n é e n p r e m ie r c y c le u n iv e rs ita ire . Il e s t c o n n u a u s s i s o u s le n o m d e th é o r è m e d e C a u c h y , p a rf o is s o u s le n o m
d e théorème de Picard-Lindelôf.
V ie u x d e 2 s iè c le s e n v ir o n (le p r e m ie r é n o n c é , d û à C a u c h y , d a te d e 1 8 2 0 ), il
é ta b lit d a n s d e s c o n d itio n s trè s g é n é r a le s l ’e x is te n c e e t l ’u n ic ité d e la s o lu tio n d ’u n e
é q u a tio n d iff é re n tie lle . Il se r é v è le d o n c in c o n to u r n a b le d a n s l ’é tu d e d e s s y s tè m e s
d y n a m iq u e s à te m p s c o n tin u , d o n t l ’é v o lu tio n e s t j u s t e m e n t tra d u ite p a r u n e é q u a tio n
d iff é re n tie lle d a n s R ” .
T h é o r è m e d e C a u c h y
S o ie n t E e t F d e u x e s p a c e s m é tr iq u e s , m u n is d e s d is ta n c e s r e s p e c tiv e s d e t ô. U n e
a p p lic a tio n / d e F d a n s F e s t d ite lipschitzienne de rapport k {k e R + ) si p o u r
to u s X e t ^ é lé m e n ts d e F , o n a : ô ( f( x ) , f( y ) ) < k . d(x, y). O n d it a u s si q u e / e s t
/c -lip s c h itz ie n n e .
/ e s t d ite localement lipschitzienne si to u t p o in t x d e F p o s s è d e u n v o is in a g e
s u r le q u e l / e s t lip s c h itz ie n n e : le r a p p o r t k d é p e n d a priori d e x. P a r e x e m p le , s u r
F = R * , X
e s t lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e , m a is l ’e n s e m b le d e s k n ’e s t p a s
b o r n é : il n ’e x is te d o n c p a s d e k tel q u e / s o it ^ - lip s c h itz ie n n e s u r F .
L e théorème de Cauchy-Lipschitz, o b je t d u § 1 .2 .1 , s ’é n o n c e a in s i :
- a
O
c
3
Q
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
ai
>•
Q .
O
U
Q
@
Théorème de Cauchy-Lipschitz
S o it (E ) l ’é q u a tio n d if f é r e n tie lle x = / ( x ) , o ù / e s t u n e f o n c tio n lo c a le m e n t l ip
s c h itz ie n n e s u r u n d o m a in e O d e R ” e t à v a le u r s d a n s R ” .
A lo r s , p o u r to u t xo G O , il e x is te u n e s o lu tio n m a x im a le u n iq u e d e (E ) d é fin ie s u r
u n in te r v a lle d e te m p s o u v e r t c o n te n a n t 0 e t te lle q u e x (0 ) = xq.
P a r « s o lu tio n m a x im a le », il f a u t e n te n d r e : s o lu tio n d é fin ie s u r un in te r v a lle d e
te m p s 7 (x o ) o u v e r t c o n te n a n t 0 , e t n o n p r o lo n g e a b le a u - d e là d e c e t in te rv a lle .
P o u r le s s y s tè m e s lin é a ir e s , kl = R " e t Vxq g R'^, / ( xq) = R .
D é t e r m i n i s m e
L e th é o r è m e d e C a u c h y d o n n e u n s e n s p r é c is a u d é te r m in is m e : la d o u b le c o n n a is
s a n c e d u p r é s e n t ( l ’é ta t xq) e t d e la lo i d ’é v o lu tio n d ’u n s y s tè m e (la f o n c tio n / ) p e r m e t
d e d é te r m in e r le f u tu r ( x ( 0 p o u r t > 0 ), m a is a u s s i le p a s s é c a r 7 (x o ) e s t u n o u v e r t
c o n te n a n t 0. S i le s y s tè m e e s t l ’u n iv e rs e n tie r, le f a it q u ’a u c u n e g r a n d e u r p h y s iq u e n e
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A n n e x e 3 : T h é o r è m e d e C a u c h y
E T D É T E R M I N I S M E
L e théorème de Cauchy-Lipschitz e s t c la s s iq u e e t e n s e ig n é e n p r e m ie r c y c le u n iv e rs ita ire . Il e s t c o n n u a u s s i s o u s le n o m d e th é o r è m e d e C a u c h y , p a rf o is s o u s le n o m
d e théorème de Picard-Lindelôf.
V ie u x d e 2 s iè c le s e n v ir o n (le p r e m ie r é n o n c é , d û à C a u c h y , d a te d e 1 8 2 0 ), il
é ta b lit d a n s d e s c o n d itio n s trè s g é n é r a le s l ’e x is te n c e e t l ’u n ic ité d e la s o lu tio n d ’u n e
é q u a tio n d iff é re n tie lle . Il se r é v è le d o n c in c o n to u r n a b le d a n s l ’é tu d e d e s s y s tè m e s
d y n a m iq u e s à te m p s c o n tin u , d o n t l ’é v o lu tio n e s t j u s t e m e n t tra d u ite p a r u n e é q u a tio n
d iff é re n tie lle d a n s R ” .
T h é o r è m e d e C a u c h y
S o ie n t E e t F d e u x e s p a c e s m é tr iq u e s , m u n is d e s d is ta n c e s r e s p e c tiv e s d e t ô. U n e
a p p lic a tio n / d e F d a n s F e s t d ite lipschitzienne de rapport k {k e R + ) si p o u r
to u s X e t ^ é lé m e n ts d e F , o n a : ô ( f( x ) , f( y ) ) < k . d(x, y). O n d it a u s si q u e / e s t
/c -lip s c h itz ie n n e .
/ e s t d ite localement lipschitzienne si to u t p o in t x d e F p o s s è d e u n v o is in a g e
s u r le q u e l / e s t lip s c h itz ie n n e : le r a p p o r t k d é p e n d a priori d e x. P a r e x e m p le , s u r
F = R * , X
e s t lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e , m a is l ’e n s e m b le d e s k n ’e s t p a s
b o r n é : il n ’e x is te d o n c p a s d e k tel q u e / s o it ^ - lip s c h itz ie n n e s u r F .
L e théorème de Cauchy-Lipschitz, o b je t d u § 1 .2 .1 , s ’é n o n c e a in s i :
- a
O
c
3
Q
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
ai
>•
Q .
O
U
Q
@
Théorème de Cauchy-Lipschitz
S o it (E ) l ’é q u a tio n d if f é r e n tie lle x = / ( x ) , o ù / e s t u n e f o n c tio n lo c a le m e n t l ip
s c h itz ie n n e s u r u n d o m a in e O d e R ” e t à v a le u r s d a n s R ” .
A lo r s , p o u r to u t xo G O , il e x is te u n e s o lu tio n m a x im a le u n iq u e d e (E ) d é fin ie s u r
u n in te r v a lle d e te m p s o u v e r t c o n te n a n t 0 e t te lle q u e x (0 ) = xq.
P a r « s o lu tio n m a x im a le », il f a u t e n te n d r e : s o lu tio n d é fin ie s u r un in te r v a lle d e
te m p s 7 (x o ) o u v e r t c o n te n a n t 0 , e t n o n p r o lo n g e a b le a u - d e là d e c e t in te rv a lle .
P o u r le s s y s tè m e s lin é a ir e s , kl = R " e t Vxq g R'^, / ( xq) = R .
D é t e r m i n i s m e
L e th é o r è m e d e C a u c h y d o n n e u n s e n s p r é c is a u d é te r m in is m e : la d o u b le c o n n a is
s a n c e d u p r é s e n t ( l ’é ta t xq) e t d e la lo i d ’é v o lu tio n d ’u n s y s tè m e (la f o n c tio n / ) p e r m e t
d e d é te r m in e r le f u tu r ( x ( 0 p o u r t > 0 ), m a is a u s s i le p a s s é c a r 7 (x o ) e s t u n o u v e r t
c o n te n a n t 0. S i le s y s tè m e e s t l ’u n iv e rs e n tie r, le f a it q u ’a u c u n e g r a n d e u r p h y s iq u e n e
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