■a
O
c
1 3
Q
y£ )
o
r\i
(5)
‘s_
>.
C L
o
U
Chapitre 13 • Annexes
U n e c la s s e a p p a ra ît a in s i c o m m e u n vecteur tangent à V e n î3, l ’e n s e m b le d e
c e s v e c te u rs é ta n t l’espace tangent en a k V. C e t e s p a c e e s t n a tu r e lle m e n t d e
d im e n s io n n, e t e s t a tta c h é a u p o in t a.
- Dérivation sur une variété
S o it T l ’e n s e m b le d e s f o n c tio n s / d é fin ie s d a n s u n v o is in a g e d e a G V e t in d é f in im e n t d é riv a b le s d e V d a n s R , c ’e s t- à - d ir e : p o u r to u te c a r te (U, (p), l ’a p p lic a tio n
X G R ” 1-^ ( / o (^“ ' ) ( x ) G R e s t d e c la s s e
C e t e n s e m b le p o s s è d e la s tr u c tu r e
d ’a lg è b r e . Il e s t e n p a r tic u lie r s ta b le p a r m u ltip lic a tio n . U n e a p p lic a tio n D d e ^
d a n s lu i- m ê m e e s t d ite u n e dérivation si p o u r to u s f et g a p p a r te n a n t à
o n a
+ 9 - D ( f) a u p o in t a. C e tte é g a lité e s t f o r m e lle m e n t la relation
de Leibniz. O n m o n tr e q u e l ’e n s e m b le d e s d é riv a tio n s e n a p e u t ê tre m u n i d ’u n e
s tr u c tu r e d ’e s p a c e v e c to r ie l. L ’e n s e m b le d e s v e c te u r s e s t l’espace tangent e n a
à V.
Il e s t r e m a r q u a b le q u e , c o m m e le m o n tr e r a it u n c o m p lé m e n t d ’a n a ly s e d e la q u e s
tio n , le s d e u x d é fin itio n s d e l ’e s p a c e ta n g e n t en a k V q u e n o u s a v o n s d o n n é e s s o n t
équivalentes.
206
O
c
1 3
Q
y£ )
o
r\i
(5)
‘s_
>.
C L
o
U
Chapitre 13 • Annexes
U n e c la s s e a p p a ra ît a in s i c o m m e u n vecteur tangent à V e n î3, l ’e n s e m b le d e
c e s v e c te u rs é ta n t l’espace tangent en a k V. C e t e s p a c e e s t n a tu r e lle m e n t d e
d im e n s io n n, e t e s t a tta c h é a u p o in t a.
- Dérivation sur une variété
S o it T l ’e n s e m b le d e s f o n c tio n s / d é fin ie s d a n s u n v o is in a g e d e a G V e t in d é f in im e n t d é riv a b le s d e V d a n s R , c ’e s t- à - d ir e : p o u r to u te c a r te (U, (p), l ’a p p lic a tio n
X G R ” 1-^ ( / o (^“ ' ) ( x ) G R e s t d e c la s s e
C e t e n s e m b le p o s s è d e la s tr u c tu r e
d ’a lg è b r e . Il e s t e n p a r tic u lie r s ta b le p a r m u ltip lic a tio n . U n e a p p lic a tio n D d e ^
d a n s lu i- m ê m e e s t d ite u n e dérivation si p o u r to u s f et g a p p a r te n a n t à
o n a
+ 9 - D ( f) a u p o in t a. C e tte é g a lité e s t f o r m e lle m e n t la relation
de Leibniz. O n m o n tr e q u e l ’e n s e m b le d e s d é riv a tio n s e n a p e u t ê tre m u n i d ’u n e
s tr u c tu r e d ’e s p a c e v e c to r ie l. L ’e n s e m b le d e s v e c te u r s e s t l’espace tangent e n a
à V.
Il e s t r e m a r q u a b le q u e , c o m m e le m o n tr e r a it u n c o m p lé m e n t d ’a n a ly s e d e la q u e s
tio n , le s d e u x d é fin itio n s d e l ’e s p a c e ta n g e n t en a k V q u e n o u s a v o n s d o n n é e s s o n t
équivalentes.
206