Annexe 2 : Topologie et autres structures
T J
O
c
rj
Q
k D
1 — H
O
(N
ai
>C L
O
U
û
@
Calcul différentiel sur une variété
C o m m e n t é te n d r e à u n e v a rié té d iff é re n tie lle la n o tio n d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n ?
Q u a n d X e s t u n p o in t d e l ’e s p a c e v e c to rie l W \ o n s a it d o n n e r u n s e n s à l ’é q u a tio n
X = f ( x ) . P o u r to u te f o n c tio n g(t) à v a le u r d a n s R ” (e t e n p a r tic u lie r p o u r le flo t
dg
t
x{t) = 0 ( r , ^o))» la d é r iv é e — (?o) s ’o b tie n t c la s s iq u e m e n t c o m m e lim ite d e
dt
g(to + h) - g(to)
------------ ------------- q u a n d h ^ 0. M a is si la d iff é re n c e g(to + h) - g(to) a u n s e n s q u a n d g
h
p r e n d s e s v a le u rs d a n s u n e s p a c e v e c to r ie l, e lle n ’e n a p lu s q u a n d g p r e n d s e s v a le u rs
s u r u n e v a rié té . O r, l ’e x e m p le é lé m e n ta ir e d e la v ite s s e a n g u la ire , d é riv é e te m p o r e lle
d ’u n a n g le ( é lé m e n t d e la v a rié té R / 2 Æ d e d im e n s io n 1), n o u s f a it p r e s s e n tir q u ’u n e
d é riv a tio n d e m e u r e p o s s ib le s u r u n e v a rié té .
O n p o u r r a it c e rte s id e n tif ie r le c e rc le , v a rié té d e d im e n s io n 1, à u n c e r c le d u p la n
e u c lid ie n ; o n r é h a b ilite a in s i la d iff é re n c e , m a is c e lle - c i, d o n c a u s s i la d é riv é e q u ’e lle
p e r m e t d e d é fin ir, p e u t p r e n d r e n ’im p o r te q u e lle v a le u r d a n s R ^ . S i c e tte id e n tif ic a tio n
é ta it p e r tin e n te , la v ite s s e a n g u la ir e s e r a it u n v e c te u r d e R ^ .
Il e x is te u n a u tr e in c o n v é n ie n t : u n e v a rié té d e d im e n s io n n p e u t ê tre c o n s id é r é e
c o m m e p lo n g é e d a n s R '” , a v e c m s u ff is a m m e n t g r a n d e t a u m o in s é g a l à n. M a is le
p lo n g e m e n t p e u t ê tr e b e a u c o u p m o in s triv ia l q u e c e lu i u tilis é p o u r le c e rc le . S i o n
n e r e c o u r t p a s à c e t a rtific e , o n p a r le d e v a rié té a b s tr a ite . D a n s c e c a s g é n é ra l, il f a u t
d o n c o p é r e r d iff é re m m e n t.
E f fe c tiv e m e n t, d é fin ir s u r u n e v a rié té le s n o tio n s d e d é riv a tio n , d ’e s p a c e ta n g e n t
e t d e c h a m p d e v e c te u rs , d o n c lé g itim e r d e s é q u a tio n s d ’é v o lu tio n d u ty p e x = f{ x )
e s t to u jo u r s p o s s ib le m a is e x ig e u n c e r ta in f o r m a lis m e . C o m m e c e lu i-c i n ’e s t p a s
in d is p e n s a b le à la c o m p r é h e n s io n d u p r é s e n t o u v r a g e , n o u s re n v o y o n s le le c te u r à
l ’a b o n d a n te litté r a tu r e s u r le s v a rié té s e t/o u la g é o m é tr ie d iff é re n tie lle . N o u s s ig n a
lo n s n é a n m o in s d e u x a p p r o c h e s q u i s e r v e n t à c o n s tr u ir e u n c a lc u l d iff é re n tie l s u r
le s v a rié té s . N o u s n o u s p la ç o n s d a n s le c a s d ’u n e v a rié té V d e d im e n s io n n e t d e
c la s s e
- Vecteur tangent à une variété
U n c h e m in o u c o u r b e s u r la v a rié té V e s t u n e a p p lic a tio n cr d e / = ] - 1 , + \[ d a n s V :
t e I
a(t) e V. P o u r to u te c a r te (U, (f) te lle q u e a(I) r e n c o n tr e U, o n s u p p o s e
a d e c la s s e C ” , c ’e s t- à - d ir e : le s n c o o r d o n n é e s d e a(t) d a n s la c a rte (U, (p) s o n t
d e s f o n c tio n s r é e lle s d e c la s s e
O n c o n s id è r e le s c o u r b e s p a s s a n t p a r a G V, le
p o in t a c o r r e s p o n d a n t à la v a le u r 0 d e la v a ria b le t. D e u x te lle s c o u rb e s a e t p, p o u r
le s q u e lle s o n a d o n c o'(O) = P(0) = a, s o n t d ite s équivalentes si p o u r to u te c a rte
(U, (f) te lle q u e a e U, le s d e u x f o n c tio n s v e c to r ie lle s r G R i-> ( ^ o a)(t) G R'^
e t r G R 1 -^ ((^ O p)(t) G R'^ o n t la m ê m e d é riv é e (q u i e s t d o n c u n v e c te u r d e R'^)
p o u r r = 0. O n m o n tr e q u e c e tte r e la tio n e s t u n e r e la tio n d ’é q u iv a le n c e , e t q u e
l ’e n s e m b le d e s c la s s e s p e u t ê tr e m u n i d ’u n e s tr u c tu r e d ’e s p a c e v e c to rie l.
205
T J
O
c
rj
Q
k D
1 — H
O
(N
ai
>C L
O
U
û
@
Calcul différentiel sur une variété
C o m m e n t é te n d r e à u n e v a rié té d iff é re n tie lle la n o tio n d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n ?
Q u a n d X e s t u n p o in t d e l ’e s p a c e v e c to rie l W \ o n s a it d o n n e r u n s e n s à l ’é q u a tio n
X = f ( x ) . P o u r to u te f o n c tio n g(t) à v a le u r d a n s R ” (e t e n p a r tic u lie r p o u r le flo t
dg
t
x{t) = 0 ( r , ^o))» la d é r iv é e — (?o) s ’o b tie n t c la s s iq u e m e n t c o m m e lim ite d e
dt
g(to + h) - g(to)
------------ ------------- q u a n d h ^ 0. M a is si la d iff é re n c e g(to + h) - g(to) a u n s e n s q u a n d g
h
p r e n d s e s v a le u rs d a n s u n e s p a c e v e c to r ie l, e lle n ’e n a p lu s q u a n d g p r e n d s e s v a le u rs
s u r u n e v a rié té . O r, l ’e x e m p le é lé m e n ta ir e d e la v ite s s e a n g u la ire , d é riv é e te m p o r e lle
d ’u n a n g le ( é lé m e n t d e la v a rié té R / 2 Æ d e d im e n s io n 1), n o u s f a it p r e s s e n tir q u ’u n e
d é riv a tio n d e m e u r e p o s s ib le s u r u n e v a rié té .
O n p o u r r a it c e rte s id e n tif ie r le c e rc le , v a rié té d e d im e n s io n 1, à u n c e r c le d u p la n
e u c lid ie n ; o n r é h a b ilite a in s i la d iff é re n c e , m a is c e lle - c i, d o n c a u s s i la d é riv é e q u ’e lle
p e r m e t d e d é fin ir, p e u t p r e n d r e n ’im p o r te q u e lle v a le u r d a n s R ^ . S i c e tte id e n tif ic a tio n
é ta it p e r tin e n te , la v ite s s e a n g u la ir e s e r a it u n v e c te u r d e R ^ .
Il e x is te u n a u tr e in c o n v é n ie n t : u n e v a rié té d e d im e n s io n n p e u t ê tre c o n s id é r é e
c o m m e p lo n g é e d a n s R '” , a v e c m s u ff is a m m e n t g r a n d e t a u m o in s é g a l à n. M a is le
p lo n g e m e n t p e u t ê tr e b e a u c o u p m o in s triv ia l q u e c e lu i u tilis é p o u r le c e rc le . S i o n
n e r e c o u r t p a s à c e t a rtific e , o n p a r le d e v a rié té a b s tr a ite . D a n s c e c a s g é n é ra l, il f a u t
d o n c o p é r e r d iff é re m m e n t.
E f fe c tiv e m e n t, d é fin ir s u r u n e v a rié té le s n o tio n s d e d é riv a tio n , d ’e s p a c e ta n g e n t
e t d e c h a m p d e v e c te u rs , d o n c lé g itim e r d e s é q u a tio n s d ’é v o lu tio n d u ty p e x = f{ x )
e s t to u jo u r s p o s s ib le m a is e x ig e u n c e r ta in f o r m a lis m e . C o m m e c e lu i-c i n ’e s t p a s
in d is p e n s a b le à la c o m p r é h e n s io n d u p r é s e n t o u v r a g e , n o u s re n v o y o n s le le c te u r à
l ’a b o n d a n te litté r a tu r e s u r le s v a rié té s e t/o u la g é o m é tr ie d iff é re n tie lle . N o u s s ig n a
lo n s n é a n m o in s d e u x a p p r o c h e s q u i s e r v e n t à c o n s tr u ir e u n c a lc u l d iff é re n tie l s u r
le s v a rié té s . N o u s n o u s p la ç o n s d a n s le c a s d ’u n e v a rié té V d e d im e n s io n n e t d e
c la s s e
- Vecteur tangent à une variété
U n c h e m in o u c o u r b e s u r la v a rié té V e s t u n e a p p lic a tio n cr d e / = ] - 1 , + \[ d a n s V :
t e I
a(t) e V. P o u r to u te c a r te (U, (f) te lle q u e a(I) r e n c o n tr e U, o n s u p p o s e
a d e c la s s e C ” , c ’e s t- à - d ir e : le s n c o o r d o n n é e s d e a(t) d a n s la c a rte (U, (p) s o n t
d e s f o n c tio n s r é e lle s d e c la s s e
O n c o n s id è r e le s c o u r b e s p a s s a n t p a r a G V, le
p o in t a c o r r e s p o n d a n t à la v a le u r 0 d e la v a ria b le t. D e u x te lle s c o u rb e s a e t p, p o u r
le s q u e lle s o n a d o n c o'(O) = P(0) = a, s o n t d ite s équivalentes si p o u r to u te c a rte
(U, (f) te lle q u e a e U, le s d e u x f o n c tio n s v e c to r ie lle s r G R i-> ( ^ o a)(t) G R'^
e t r G R 1 -^ ((^ O p)(t) G R'^ o n t la m ê m e d é riv é e (q u i e s t d o n c u n v e c te u r d e R'^)
p o u r r = 0. O n m o n tr e q u e c e tte r e la tio n e s t u n e r e la tio n d ’é q u iv a le n c e , e t q u e
l ’e n s e m b le d e s c la s s e s p e u t ê tr e m u n i d ’u n e s tr u c tu r e d ’e s p a c e v e c to rie l.
205