Chapitre 13 • Annexes
Exercice 13.1 Un atlas du ce rc le
Le quotient de R par la relation d’équivalence jc ~ г/ <=> x - y e Z est topologiquement le cercle, ou tore à une dimension, que l’on notera .
On remarquera que pour cette définition du cercle, il n'est pas nécessaire de
connaître la notion de plan, et qu 'il est donc a fortiori inutile de savoir ce qii 'est
un plan euclidien.
On munit Г* de la topologie induite par celle de R via l’équivalence Ainsi (voir les
cours de topologie), les ouverts de
ont pour représentants dans [0, 1[ les réunions
d’ouverts de ces deux catégories :
- ne contenant pas 0, du type ]a, b [ avec 0 < a < b < \
(pour a = b : ouvert vide) ;
- contenant 0, du type [0, a[U]b, 1 [, avec 0 < a < b < 1.
On définit sur Г* les deux cartes :
- i/i =] 0, 1 [c 7^ avec (fi\{x e. U\) g R ;
- t/2 = [0,i[U ]5- I[c7'avec<^2(^€t/2)€R.
Montrer qu’on peut définir ¡р\ et 1/J2 telles que, muni de l’atlas correspondant, Г ' soit
une variété différentiable de dimension 1 et de classe C°^.
■a O
c
=3
Q
Ю tH
O Г М
X I
03
>• Q. O
U
Exercice 1 3 .2 Un atlas du tore
Le tore à deux dimensions
est le produit cartésien d’un cercle (qui est aussi le
tore r* à une dimension) par lui-même : 7^ = 7* x 7 ^ C’est aussi le quotient de
R ^ par la relation d’équivalence (,v, x ') ~ {y, y') < = > ( x - y, x ' - y') G 7 ? , ce qui
permet de désigner un élément de 7^ par son représentant de [ 0, 1 [^c R^. Exemples
de tores 7^ : la bouée de sauvetage, le pneu de voiture (en tant que surfaces). 7^ est
évoqué au § 8.5 sous la notation 7.
De même que la définition du plan n 'était pas nécessaire à celle du cercle en tant que
variété, celle de l'espace R ^ n'est pas nécessaire à celle du tore 7^.
on définit sur 7^ l’atlas formé des deux cartes :
- i/i =] 0, 1 [x7* c 7^ avec (pi({Xj y) G 7^) G R ^ ;
- (/2 = [ 0, i [ U ] 5 . 1 [XT' c
avec ip2((x, y) € T^) e R^.
Montrer qu’on peut définir
une variété différentiable de dimension 2, et de classe
(On se limitera à décrire la démarche, sans nécessairement donner une expression
analytique des (pi).
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Exercice 13.1 Un atlas du ce rc le
Le quotient de R par la relation d’équivalence jc ~ г/ <=> x - y e Z est topologiquement le cercle, ou tore à une dimension, que l’on notera .
On remarquera que pour cette définition du cercle, il n'est pas nécessaire de
connaître la notion de plan, et qu 'il est donc a fortiori inutile de savoir ce qii 'est
un plan euclidien.
On munit Г* de la topologie induite par celle de R via l’équivalence Ainsi (voir les
cours de topologie), les ouverts de
ont pour représentants dans [0, 1[ les réunions
d’ouverts de ces deux catégories :
- ne contenant pas 0, du type ]a, b [ avec 0 < a < b < \
(pour a = b : ouvert vide) ;
- contenant 0, du type [0, a[U]b, 1 [, avec 0 < a < b < 1.
On définit sur Г* les deux cartes :
- i/i =] 0, 1 [c 7^ avec (fi\{x e. U\) g R ;
- t/2 = [0,i[U ]5- I[c7'avec<^2(^€t/2)€R.
Montrer qu’on peut définir ¡р\ et 1/J2 telles que, muni de l’atlas correspondant, Г ' soit
une variété différentiable de dimension 1 et de classe C°^.
■a O
c
=3
Q
Ю tH
O Г М
X I
03
>• Q. O
U
Exercice 1 3 .2 Un atlas du tore
Le tore à deux dimensions
est le produit cartésien d’un cercle (qui est aussi le
tore r* à une dimension) par lui-même : 7^ = 7* x 7 ^ C’est aussi le quotient de
R ^ par la relation d’équivalence (,v, x ') ~ {y, y') < = > ( x - y, x ' - y') G 7 ? , ce qui
permet de désigner un élément de 7^ par son représentant de [ 0, 1 [^c R^. Exemples
de tores 7^ : la bouée de sauvetage, le pneu de voiture (en tant que surfaces). 7^ est
évoqué au § 8.5 sous la notation 7.
De même que la définition du plan n 'était pas nécessaire à celle du cercle en tant que
variété, celle de l'espace R ^ n'est pas nécessaire à celle du tore 7^.
on définit sur 7^ l’atlas formé des deux cartes :
- i/i =] 0, 1 [x7* c 7^ avec (pi({Xj y) G 7^) G R ^ ;
- (/2 = [ 0, i [ U ] 5 . 1 [XT' c
avec ip2((x, y) € T^) e R^.
Montrer qu’on peut définir
une variété différentiable de dimension 2, et de classe
(On se limitera à décrire la démarche, sans nécessairement donner une expression
analytique des (pi).
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