Annexe 2 : Topologie et autres structures
Sur un espace préhilbertien, tout couple {x, y) satisfait l’inégalité de CauchySchwarz : \{x\y)\ < \\x\\.\\y\\
Un espace métrique E est complet si toute suite de Cauchy de E converge dans E.
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet.
Résumons les relations entre types d’espaces précédemment définis :
• tout espace hilbertien est un espace préhilbertien ;
• tout espace préhilbertien est un e.v.n. ;
• tout e.v.n. est un espace métrique ;
• tout espace métrique est un espace topologique.
V a r i é t é s
Un cercle n’est pas une partie de la droite réelle, mais chacun de ses points possède un
voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de R. De même, une sphère n’est pas une
partie du plan, mais chacun de ses points possède un voisinage ouvert homéomorphe
à un ouvert de R.^. Le cercle (resp. la sphère) a localement les mêmes propriétés
topologiques que R (resp. R^). On dira que le cercle est une variété topologique de
dimension 1, et que la sphère est une variété topologique de dimension 2. Nous allons
détailler cette définition.
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Ю 1 -H
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V a r ié té s d e dimension n
Une variété de dimension n est un espace topologique V que l’on peut couvrir
de cartes de même dimension n qui se raccordent convenablement. Précisons cet
énoncé :
• une carte est un couple {U, y)), U étant un ouvert de V et (/j un homéomorphisme
de U sur un ouvert W = y){U) de R".
• Un atlas est une famille (U/)/e/ de cartes telle que IJ/^/ U/ = V. Pour tout couple
(/, j) tel que Î7/ П Uj Ф 0, soit ipj о
l’application de changement de carte.
Si toutes ces applications sont :
- continues, V est une variété topologique de dimension n ;
- différentiables de classe
V est une variété différentielle de dimension n et
de classe
On peut dire indifféremment variété différentiable.
û
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