Chapitre 13 • Annexes
• S o it E un e s p a c e v e c to rie l n o r m é
L’application (^,
G
i->
ij) - ||x - ^|| est une distance.
Les trois propriétés D \, D 2 , D 3 sont en effet des conséquences directes des propriétés des normes N\, N 2 , N 3 .
La distance ainsi définie est dite associée à la norme | | . ||
De même que les espaces métriques sont des cas particuliers d’espaces topologiques, les e.v.n. sont des cas particuliers d’espaces métriques.
T J
O c D
Q
K D
tH
O
CM
ai
>Q .
O
U
E s p a c e s préhilbertiens
E étant un espace vectoriel de dimension finie ou infinie sur R ou C, une forme
sesquilinéaire sur E est une application de £ x £ sur K = C linéaire pour l’un
des arguments et antilinéaire (c’est-à-dire additive et telle que f(Àx) = À f(x)) pour
l’autre.
Si le corps est K = R : sesquilinéaire = bilinéaire.
Une forme hermitienne est une application ip de E x E sur K = C telle que pour
tous xely : (p{y, x) = (p{x, y).
Si le corps est K = R : hermitienne = symétrique.
Un produit scalaire sur l’espace vectoriel E est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive sur E. Remarquons simplement que si le corps des scalaires
est K = R, une forme sesquilinéaire hermitienne est une forme bilinéaire symétrique.
Le produit scalaire de .r et ^ est noté {x\y). D’autres notations sont pratiquées.
Un espace préhilbertien est un espace vectoriel E sur K = R ou C muni d’un
produit scalaire. Si la dimension de E est finie, E est dit :
• euclidien si K = R ;
• hermitien si K = C.
On notera les deux sens de l’adjectif hermitien, selon qu’il qualifie une forme ou un
espace.
• S o it E un e s p a c e p r é h ilb e r tie n
L’application x G £ i-> ||jî|| = (x, xŸ^^ est une norme.
Les trois propriétés N \, N 2 , N 3 se déduisent en effet des propriétés du produit
scalaire ; la démonstration, classique, est faite en classes préparatoires.
La norme ainsi définie est dite associée au produit scalaire | | . ||
Ainsi, de même que les e.v.n. sont des cas particuliers d’espaces métriques, les
espaces préhilbertiens sont des cas particuliers d’e.v.n.
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• S o it E un e s p a c e v e c to rie l n o r m é
L’application (^,
G
i->
ij) - ||x - ^|| est une distance.
Les trois propriétés D \, D 2 , D 3 sont en effet des conséquences directes des propriétés des normes N\, N 2 , N 3 .
La distance ainsi définie est dite associée à la norme | | . ||
De même que les espaces métriques sont des cas particuliers d’espaces topologiques, les e.v.n. sont des cas particuliers d’espaces métriques.
T J
O c D
Q
K D
tH
O
CM
ai
>Q .
O
U
E s p a c e s préhilbertiens
E étant un espace vectoriel de dimension finie ou infinie sur R ou C, une forme
sesquilinéaire sur E est une application de £ x £ sur K = C linéaire pour l’un
des arguments et antilinéaire (c’est-à-dire additive et telle que f(Àx) = À f(x)) pour
l’autre.
Si le corps est K = R : sesquilinéaire = bilinéaire.
Une forme hermitienne est une application ip de E x E sur K = C telle que pour
tous xely : (p{y, x) = (p{x, y).
Si le corps est K = R : hermitienne = symétrique.
Un produit scalaire sur l’espace vectoriel E est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive sur E. Remarquons simplement que si le corps des scalaires
est K = R, une forme sesquilinéaire hermitienne est une forme bilinéaire symétrique.
Le produit scalaire de .r et ^ est noté {x\y). D’autres notations sont pratiquées.
Un espace préhilbertien est un espace vectoriel E sur K = R ou C muni d’un
produit scalaire. Si la dimension de E est finie, E est dit :
• euclidien si K = R ;
• hermitien si K = C.
On notera les deux sens de l’adjectif hermitien, selon qu’il qualifie une forme ou un
espace.
• S o it E un e s p a c e p r é h ilb e r tie n
L’application x G £ i-> ||jî|| = (x, xŸ^^ est une norme.
Les trois propriétés N \, N 2 , N 3 se déduisent en effet des propriétés du produit
scalaire ; la démonstration, classique, est faite en classes préparatoires.
La norme ainsi définie est dite associée au produit scalaire | | . ||
Ainsi, de même que les e.v.n. sont des cas particuliers d’espaces métriques, les
espaces préhilbertiens sont des cas particuliers d’e.v.n.
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