Annexe 2 : Topologie et autres structures
Une distance sur un ensemble E quelconque est une application d à t E x E dans
R+ vérifiant les trois axiomes :
D\ : d{x,
= 0 si et seulement si jc = ^ ;
£>2 : pour tous X et y éléments de E : d{x, y) = d(y, x) ;
£>3 : V X, y, Z, d(x, z) < d(x, y) + d{y, z) (inégalité triangulaire).
Une distance est aussi appelée métrique. E muni de d est un espace métrique, qu’on
notera (E, d) ou simplement E. Sans surprise, la distance au sens élémentaire (distance euclidienne) dans R, R^ ou R^ satisfait les trois axiomes. On généralise sans
difficulté cette notion à R".
La boule ouverte !B{x, r) de centre x et de rayon r > 0 est l’ensemble {y e
E, d(x, y) < r}. On montre que l’ensemble T des réunions de boules ouvertes, complété par l’ensemble vide (p est u n e topologie (une boule ouverte est un ouvert, ce qui
V
justifie a posteriori la terminologie). A une structure métrique correspond donc une
topologie : T est la topologie associée à d.
La distance entre deux parties A et 5 de £ est d{A, B) = inf{
■a O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
û
@
E s p a c e s v e c t o r i e l s n o rm és
Soit E un espace vectoriel sur R ou C . L’application x e E i-» ||x|| G
norme si et seulement si les trois propriétés suivantes sont satisfaites :
Nx
N2
N2
Muni de
est une
= 0 <=> X = 0 ;
Vx g E, VTg R ouC, P x || = |d|.
Vx, y ^ E ||x -I- tyll < ||x|| -I- ll^ll (inégalité triangulaire).
Il. Il, E est un espace vectoriel normé (on notera en abrégé e.v.n.).
On dit que les deux normes | | . et | | . ||/^ sont équivalentes si et seulement si il
existe ( 2 G R * et G R * tels que, pour tout x e E :
û'-IWIfl < \\x\\b
On montre que su r
toutes les norm es so n t équivalentes.
Ce résultat n ^est p lu s valable dans un espace de dimension infinie ; sur un espace
fonctionnel, il est donc nécessaire de préciser la norme utilisée.
Par exemple, sur E = C[0, 1], ensemble des fonctions continues sur [0, 1] :
|/(x)| dx et
= sup |/(x)| sont deux normes non équivalentes.
X€[0,I]
201
Une distance sur un ensemble E quelconque est une application d à t E x E dans
R+ vérifiant les trois axiomes :
D\ : d{x,
= 0 si et seulement si jc = ^ ;
£>2 : pour tous X et y éléments de E : d{x, y) = d(y, x) ;
£>3 : V X, y, Z, d(x, z) < d(x, y) + d{y, z) (inégalité triangulaire).
Une distance est aussi appelée métrique. E muni de d est un espace métrique, qu’on
notera (E, d) ou simplement E. Sans surprise, la distance au sens élémentaire (distance euclidienne) dans R, R^ ou R^ satisfait les trois axiomes. On généralise sans
difficulté cette notion à R".
La boule ouverte !B{x, r) de centre x et de rayon r > 0 est l’ensemble {y e
E, d(x, y) < r}. On montre que l’ensemble T des réunions de boules ouvertes, complété par l’ensemble vide (p est u n e topologie (une boule ouverte est un ouvert, ce qui
V
justifie a posteriori la terminologie). A une structure métrique correspond donc une
topologie : T est la topologie associée à d.
La distance entre deux parties A et 5 de £ est d{A, B) = inf{
■a O
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E s p a c e s v e c t o r i e l s n o rm és
Soit E un espace vectoriel sur R ou C . L’application x e E i-» ||x|| G
norme si et seulement si les trois propriétés suivantes sont satisfaites :
Nx
N2
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Muni de
est une
= 0 <=> X = 0 ;
Vx g E, VTg R ouC, P x || = |d|.
Vx, y ^ E ||x -I- tyll < ||x|| -I- ll^ll (inégalité triangulaire).
Il. Il, E est un espace vectoriel normé (on notera en abrégé e.v.n.).
On dit que les deux normes | | . et | | . ||/^ sont équivalentes si et seulement si il
existe ( 2 G R * et G R * tels que, pour tout x e E :
û'-IWIfl < \\x\\b
On montre que su r
toutes les norm es so n t équivalentes.
Ce résultat n ^est p lu s valable dans un espace de dimension infinie ; sur un espace
fonctionnel, il est donc nécessaire de préciser la norme utilisée.
Par exemple, sur E = C[0, 1], ensemble des fonctions continues sur [0, 1] :
|/(x)| dx et
= sup |/(x)| sont deux normes non équivalentes.
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