Chapitre 13 • Annexes
le flacon et l’œuf (considérés dans leur volume et non comme surfaces) sont homéomorphes. De même, la tasse et la galette sont homéomorphes ; elles ont chacune un
« trou ».
r
Flacon
Œuf
Tasse
Galette
Figure 1 3.1- Deux couples d’ensembles homéomorphes.
Les deux premiers ensembles sont homéomorphes à la boule \\x\\ < 1 de
les
deux derniers au tore euclidien en tant que volume, ensemble des points de l’espace
situés à une distance au plus r d’un cercle de rayon R > r. Aucun des deux premiers
ensembles n’est homéomorphe à aucun des deux derniers.
La notion d’homéomorphisme sert pour définir celle de variété (fin de la présente
annexe), elle-même incontournable pour décrire des espaces des états autres que R'^.
Un homéomorphisme entre ouverts de R'^' et R'^^ n’existe que si n\ = «2.
Mais quels que soient n\ et ni, il existe des bijections simplement continues et
dont l’application réciproque ne l’est pas nécessairement : on pensera par exemple à
la courbe de Hilbert, qui applique bijectivement un segment sur un carré.
■a
O
c
n
û
« JD
tH
O
CM
A - )
X I
gi
‘s_
>.
C L
O
U
/3
Figure 1 3.2- Construction de la courbe de Hilbert.
/ = lim fn est une fonction continue de fO, 1] sur [0, 1 ]^. Ce résultat montre pourn—>00
quoi la conjugaison (§ 2.2.1) n’est possible qu’entre espaces de même dimension.
E s p a c e s m étriques
La notion de distance introduite dès l’école primaire en géométrie élémentaire se
généralise de manière axiomatique sur un ensemble a priori quelconque.
200
le flacon et l’œuf (considérés dans leur volume et non comme surfaces) sont homéomorphes. De même, la tasse et la galette sont homéomorphes ; elles ont chacune un
« trou ».
r
Flacon
Œuf
Tasse
Galette
Figure 1 3.1- Deux couples d’ensembles homéomorphes.
Les deux premiers ensembles sont homéomorphes à la boule \\x\\ < 1 de
les
deux derniers au tore euclidien en tant que volume, ensemble des points de l’espace
situés à une distance au plus r d’un cercle de rayon R > r. Aucun des deux premiers
ensembles n’est homéomorphe à aucun des deux derniers.
La notion d’homéomorphisme sert pour définir celle de variété (fin de la présente
annexe), elle-même incontournable pour décrire des espaces des états autres que R'^.
Un homéomorphisme entre ouverts de R'^' et R'^^ n’existe que si n\ = «2.
Mais quels que soient n\ et ni, il existe des bijections simplement continues et
dont l’application réciproque ne l’est pas nécessairement : on pensera par exemple à
la courbe de Hilbert, qui applique bijectivement un segment sur un carré.
■a
O
c
n
û
« JD
tH
O
CM
A - )
X I
gi
‘s_
>.
C L
O
U
/3
Figure 1 3.2- Construction de la courbe de Hilbert.
/ = lim fn est une fonction continue de fO, 1] sur [0, 1 ]^. Ce résultat montre pourn—>00
quoi la conjugaison (§ 2.2.1) n’est possible qu’entre espaces de même dimension.
E s p a c e s m étriques
La notion de distance introduite dès l’école primaire en géométrie élémentaire se
généralise de manière axiomatique sur un ensemble a priori quelconque.
200