Annexe 2 : Topologie et autres structures
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
g i
>•
Q .
O
U
û
@
A n n e x e 2 : T o p o l o g i e e t a u t r e s s t r u c t u r e s
E s p a c e s to p ologiques
Définir une topologie sur un ensemble E, c’est définir l’ensemble T des ouverts
de E. Une topologie T doit satisfaire les 3 axiomes suivants.
0 \ : toute union d’ouverts est un ouvert.
O2 : l’intersection de deux ouverts est un ouvert.
O2 : l’ensemble vide cp et l’ensemble plein E sont des ouverts.
On dit que E muni d’une topologie est un espace topologique.
Sur R, R^, • • • , R", il existe une topologie dite usuelle pour laquelle les « intervalles ouverts » (sur R), « disques ouverts » (sur R^), etc. sont des ouverts au sens
axiomatique précédent, ce qui justifie les qualificatifs qui leur ont été donnés en géométrie élémentaire. La topologie usuelle est la plus naturelle des topologies nontriviales de R'^, donc la plus largement utilisée.
En revanche, sur les espaces de dimension infinie que nécessite l’analyse fonctionnelle (en l’occurence les espaces fonctionnels : espace des polynômes, espace
des fonctions continues, etc.), il y a plusieurs topologies non-triviales intéressantes,
comme le décrivent les ouvrages d’analyse fonctionnelle.
Pour définir une topologie sur un ensemble E, il n’est nul besoin que E soit muni
d’une autre structure (groupe, anneau, espace vectoriel, etc.).
La structure d’espace topologique est le cadre naturel de définition de nombreuses
notions dont celles de limite et de continuité.
La continuité sur un espace topologique se définit au moyen de la notion de voisinage : on appelle voisinage d’un point a d’un espace topologique E un ensemble
contenant un ouvert contenant a. Notant par V(x) un voisinage de a:, on pose la définition générale : la fonction / de E dans F topologiques est continue en a si et
seulement si V V[/(a)], 3 V{à) tel que Vx e E, x e V(a) = > f(x) e V[/(«)]. Cette
définition est plus générale que la définition : quel que soit s, il existe 77, etc., qui
recourt à une distance, donc à une structure métrique (objet de la rubrique suivante).
R e m a r q u e
Comme tout voisinage de a contient un ouvert contenant a, on ne modifie en rien la
définition de la continuité en imposant que V(a) soit ouvert.
On dit que / de E dans F est continue sur E si / est continue en tout point de E.
Une bijection / entre deux espaces topologiques E et E est un homéomorphisme
si elle est bicontinue, c’est-à-dire si / et
sont continues. Si tel est le cas, on dit
que E et E sont homéomorphes. Deux ensembles homéomorphes partagent leurs propriétés topologiques (notions d’ouverts, fermés, compacts, connexité). Par exemple.
199
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
g i
>•
Q .
O
U
û
@
A n n e x e 2 : T o p o l o g i e e t a u t r e s s t r u c t u r e s
E s p a c e s to p ologiques
Définir une topologie sur un ensemble E, c’est définir l’ensemble T des ouverts
de E. Une topologie T doit satisfaire les 3 axiomes suivants.
0 \ : toute union d’ouverts est un ouvert.
O2 : l’intersection de deux ouverts est un ouvert.
O2 : l’ensemble vide cp et l’ensemble plein E sont des ouverts.
On dit que E muni d’une topologie est un espace topologique.
Sur R, R^, • • • , R", il existe une topologie dite usuelle pour laquelle les « intervalles ouverts » (sur R), « disques ouverts » (sur R^), etc. sont des ouverts au sens
axiomatique précédent, ce qui justifie les qualificatifs qui leur ont été donnés en géométrie élémentaire. La topologie usuelle est la plus naturelle des topologies nontriviales de R'^, donc la plus largement utilisée.
En revanche, sur les espaces de dimension infinie que nécessite l’analyse fonctionnelle (en l’occurence les espaces fonctionnels : espace des polynômes, espace
des fonctions continues, etc.), il y a plusieurs topologies non-triviales intéressantes,
comme le décrivent les ouvrages d’analyse fonctionnelle.
Pour définir une topologie sur un ensemble E, il n’est nul besoin que E soit muni
d’une autre structure (groupe, anneau, espace vectoriel, etc.).
La structure d’espace topologique est le cadre naturel de définition de nombreuses
notions dont celles de limite et de continuité.
La continuité sur un espace topologique se définit au moyen de la notion de voisinage : on appelle voisinage d’un point a d’un espace topologique E un ensemble
contenant un ouvert contenant a. Notant par V(x) un voisinage de a:, on pose la définition générale : la fonction / de E dans F topologiques est continue en a si et
seulement si V V[/(a)], 3 V{à) tel que Vx e E, x e V(a) = > f(x) e V[/(«)]. Cette
définition est plus générale que la définition : quel que soit s, il existe 77, etc., qui
recourt à une distance, donc à une structure métrique (objet de la rubrique suivante).
R e m a r q u e
Comme tout voisinage de a contient un ouvert contenant a, on ne modifie en rien la
définition de la continuité en imposant que V(a) soit ouvert.
On dit que / de E dans F est continue sur E si / est continue en tout point de E.
Une bijection / entre deux espaces topologiques E et E est un homéomorphisme
si elle est bicontinue, c’est-à-dire si / et
sont continues. Si tel est le cas, on dit
que E et E sont homéomorphes. Deux ensembles homéomorphes partagent leurs propriétés topologiques (notions d’ouverts, fermés, compacts, connexité). Par exemple.
199