Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
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Problème 12.1 La suite logistique pour r = 4
On considère la suite logistique pour r = 4, donc définie par x/^+i = f(xi^) avec
fix) = 4 jc(1 - x). On notera I le segment [0, 1].
1. Montrer que pour tout w G N et tout 0 réel, on a
6 ) = sin^(2'^ 6 ), où
est la puissance w de / au sens de la composition.
2. On définit l’application « tente » t sur / par :
t{x) =
2 X si ;r G [0, 1/2]
2 -2 x si .r G [1/2, 1]
{
T le système défini p a rXk+\ - t{xk) su rÇij = I
L le système défini par la suite logistique sur LIl = I
Montrer que ces deux systèmes sont conjugués par l’homéomorphisme v G
Ç lr 1-^ ipix) = ûx\^{nxl2) G ÇLi.
3. Le nombre de Champernowne m a par définition une écriture binaire m =
0, • • • dans laquelle les chiffres (donc 0 ou 1) après la virgule sont successivement :
- les 2 entiers de 0 à 1 écrits avec
1 chiffre, soit la suite 01 ;
- les 4 entiers de 0 à 3 écrits avec
2 chiffres, soit la suite 00011011 ;
- les 8 entiers de 0 à 7 écrits avec
3 chiffres, soit la suite :
000001010011100101110111, et ainsi de suite ;
On a donc m = 0,010001101100000101001110010111011100000001•••
Montrer que l’ensemble des parties fractionnaires (nombres moins leurs parties entières) des nombres 2” m est dense sur / lorsque n décrit N.
4. En déduire que pour a = sin^(m;r), l’orbite de a est dense dans /, puis que
l’ensemble des points dont l’orbite est dense dans I est lui-même dense dans /.
5. À partir de l’analyse de l’équation Xn = f^(xo) = xq, montrer que l’ensemble
des points périodiques est dense dans 7.
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