12.3. Le chaos dans un système à temps discret
Figure 1 2.1 5 - L’escalier du diable : F(x) pour r =
T J
O c D
Q
kD
O
CM
(y)
J Z
ai
>C L
O
U
û
@
12.3.2.3 Le c a s r = 4
Une approche analytique du cas r = 4 (problème 12.1 ci-après) permet d’établir une
propriété importante que partagent de nombreux autres systèmes :
- l’ensemble des points de / = [0, 1] possédant une orbite dense dans I est lui-même
dense dans I ;
- l’ensemble des points de / à orbite finie, donc des points périodiques, est également
dense dans I.
Ces deux ensembles disjoints s’interpénétrent donc : ils ont tous deux la même adhérence I. Toute trajectoire chaotique est arbitrairement proche d’une trajectoire non
chaotique, et réciproquement.
1 2.3.2.4 Cas des systèmes à tem ps discret sur
Les observations qualitatives - cycles, doublements de périodes, chaos, etc. - que
nous avons faites au sujet de la suite logistique, c’est-à-dire pour f(x) = rx(\ - x),
se généralisent à des fonctions / réelles 3 fois dérivables sur [0, 1], prenant leurs
valeurs sur ce même segment et y possédant un maximum unique. Les constantes
de Feigenbaum a et ô sont valides aussi pour cette classe de fonctions. On ne sait
pas si ces constantes sont rationnelles, ni si elles sont algébriques. On conjecture
généralement que ce sont des nombres transcendants.
Sur
avec n > 2, le chaos revêt des aspects plus complexes que pour n = 1. La littérature spécialisée décrit plusieurs cas classiques de chaos et d’attracteurs associés,
ceux-ci présentant une structure fractale.
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