Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
• mesure continue : à partir de Too, une infinité de valeurs de r conduisent à une
fonction F (x ) continue, intégrale d’une densité. Le diagramme itératif correspondant (figure 12.14) atteste une trajectoire chaotique, avec balayage dense de l’intervalle limite (ici : [0, 1]) des valeurs de x ; pour cet exemple (r = 4), on se reportera
au problème 12.1.
F ig u re 1 2.1 4 - Une trajectoire chaotique.
T J
O c rj
û
Ю tH
O
ГМ
X I
O J
>Q.
O
U
• mesure singulière : pour r = Гоо - 3,569946, on se trouve en limite de la cascade de doublements de période : l’arbre s’est divisé en 2 branches à partir de
r = 3 ; 4 branches dès r = \ + л/б, puis 8, 16, ..., 2"^, ... branches. La limite de
l’ensemble des points concernés, qu’on pourrait appeler la canopée en poussant la
métaphore forestière, est homéomorphe à Vensemble triadique K de Cantor, décrit
en annexe 6, selon une correspondance décrite ci-après. Le graphe de la fonction
F(x) est alors un escalier du diable (figure 12.15). La mesure singulière que F(x)
intègre a pour support la canopée, qui est un ensemble non-dénombrable de mesure nulle. Cette mesure singulière n’est pas la somme d’une mesure continue et
d’une mesure discrète. F(x) est continue, de dérivée nulle hors de la canopée donc
presque partout, et néanmoins croissante.
La correspondance canopée < — > K est la suivante : à chaque bifurcation r\, Г2, • • •,
la progression vers la canopée (Гоо) se fait en choisissant l’embranchement bas ou
l’embranchement haut. Si l’on attribue respectivement les valeurs 0 et 2 à ces deux
possibilités, une progression vers Г о о depuis le point initial (r = ri = 3) se traduit par
Ч
une suite de 0 et de 2, par exemple une suite commençant par 022020. A cette suite,
on associe le réel de [0, 1] d’écriture ternaire 0,022020... On sait (revoir l’annexe 6)
que l’ensemble K de tels nombres constitue l’ensemble triadique de Canton
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• mesure continue : à partir de Too, une infinité de valeurs de r conduisent à une
fonction F (x ) continue, intégrale d’une densité. Le diagramme itératif correspondant (figure 12.14) atteste une trajectoire chaotique, avec balayage dense de l’intervalle limite (ici : [0, 1]) des valeurs de x ; pour cet exemple (r = 4), on se reportera
au problème 12.1.
F ig u re 1 2.1 4 - Une trajectoire chaotique.
T J
O c rj
û
Ю tH
O
ГМ
X I
O J
>Q.
O
U
• mesure singulière : pour r = Гоо - 3,569946, on se trouve en limite de la cascade de doublements de période : l’arbre s’est divisé en 2 branches à partir de
r = 3 ; 4 branches dès r = \ + л/б, puis 8, 16, ..., 2"^, ... branches. La limite de
l’ensemble des points concernés, qu’on pourrait appeler la canopée en poussant la
métaphore forestière, est homéomorphe à Vensemble triadique K de Cantor, décrit
en annexe 6, selon une correspondance décrite ci-après. Le graphe de la fonction
F(x) est alors un escalier du diable (figure 12.15). La mesure singulière que F(x)
intègre a pour support la canopée, qui est un ensemble non-dénombrable de mesure nulle. Cette mesure singulière n’est pas la somme d’une mesure continue et
d’une mesure discrète. F(x) est continue, de dérivée nulle hors de la canopée donc
presque partout, et néanmoins croissante.
La correspondance canopée < — > K est la suivante : à chaque bifurcation r\, Г2, • • •,
la progression vers la canopée (Гоо) se fait en choisissant l’embranchement bas ou
l’embranchement haut. Si l’on attribue respectivement les valeurs 0 et 2 à ces deux
possibilités, une progression vers Г о о depuis le point initial (r = ri = 3) se traduit par
Ч
une suite de 0 et de 2, par exemple une suite commençant par 022020. A cette suite,
on associe le réel de [0, 1] d’écriture ternaire 0,022020... On sait (revoir l’annexe 6)
que l’ensemble K de tels nombres constitue l’ensemble triadique de Canton
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