12.3. Le chaos dans un système à temps discret
12.3.2.1
Les t r a j e c t o i r e s chaotiques
Nous traduirons la complexité de la dynamique par le terme de chaos. Nous nous
plaçons dans le cas général d’un système défini sur
Comme nous l’avons fait pour
les systèmes à temps continu, nous qualifions une trajectoire de chaotique lorsque
deux exigences apparemment contradictoires (orbites bornées mais divergentes) sont
réunies :
Trajectoires chaotiques
La trajectoire k e N
xq) d’un système défini sur
est chaotique si et
seulement si :
• Orh(xo) est bornée (comme k e N, Orb = Orb^) ;
• il y a sensibilité aux conditions initiales, c’est-à-dire : il existe u E R" unitaire
tel que l’exposant de Liapounov h(xo, u) (voir § 10.5) soit positif.
■a
O
c
D
Q
CD
O
rs]
ai
>•
Q .
O
U
Q
@
Signalons qu’il existe d’autres définitions, dont certaines imposent aussi des propriétés de « brassage » du flot.
Revenons à la suite logistique. L’analyse effectuée jusqu’à présent montre que pour
les faibles valeurs de r, le système n’est pas chaotique : cette constatation est nette
lorsqu’il y a un équilibre ou un 2-cycle attractif, pour r < 1 + V6, mais ne se prolonge
que jusqu’à Гоо - 3,569946. Au-delà, l’arbre de Feigenbaum présente des zones de
plus grande densité coupées de plages de valeurs de r (« clairières ») dans lesquelles
existent des cycles attractifs. Lorsque l’on s’approche de la valeur r = 4, ces clairières
deviennent de plus en plus ténues, l’arbre se densifie. Ainsi, avec une définition du
chaos voisine de celle que nous avons donnée, Jakobson a montré en 1981 que « plus
r s’approche de la valeur 4, moins on a de chances d’échapper au chaos ». L’énoncé
rigoureux revêt une forme plus abstraite faisant appel à la mesure de Lebesgue.
On montre par ailleurs l’existence de m-cycles stables pour toute valeur de m. Ceci
est mis en évidence sur la figure 12.12 pour les valeurs de m de 2 à 8. Le cycle d’ordre
impair le plus apparent est le 3-cycle, dont un calcul analytique montre l’apparition
au-delà de r = \ + Vs ^ 3, 8284.
1 2.3.2.2
Les 3 ty p e s d e mesure pour Tattracteur
F(x) est la fonction de répartition d’une mesure de probabilité, par essence positive
et de masse totale 1. Or, il existe trois types distincts de mesures et il est remarquable
que, faisant varier r, on rencontre les trois types de mesure :
• mesure discrète : pour r conduisant à un w-cycle attractif, F(x) présente m sauts
d’amplitude 1/m. La mesure est équirépartie sur les m points du cycle. Par exemple,
F(x) présente pour r = 3,5 quatre sauts d’amplitude 1/4 (figure 12.1 Ib).
193
12.3.2.1
Les t r a j e c t o i r e s chaotiques
Nous traduirons la complexité de la dynamique par le terme de chaos. Nous nous
plaçons dans le cas général d’un système défini sur
Comme nous l’avons fait pour
les systèmes à temps continu, nous qualifions une trajectoire de chaotique lorsque
deux exigences apparemment contradictoires (orbites bornées mais divergentes) sont
réunies :
Trajectoires chaotiques
La trajectoire k e N
xq) d’un système défini sur
est chaotique si et
seulement si :
• Orh(xo) est bornée (comme k e N, Orb = Orb^) ;
• il y a sensibilité aux conditions initiales, c’est-à-dire : il existe u E R" unitaire
tel que l’exposant de Liapounov h(xo, u) (voir § 10.5) soit positif.
■a
O
c
D
Q
CD
O
rs]
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>•
Q .
O
U
Q
@
Signalons qu’il existe d’autres définitions, dont certaines imposent aussi des propriétés de « brassage » du flot.
Revenons à la suite logistique. L’analyse effectuée jusqu’à présent montre que pour
les faibles valeurs de r, le système n’est pas chaotique : cette constatation est nette
lorsqu’il y a un équilibre ou un 2-cycle attractif, pour r < 1 + V6, mais ne se prolonge
que jusqu’à Гоо - 3,569946. Au-delà, l’arbre de Feigenbaum présente des zones de
plus grande densité coupées de plages de valeurs de r (« clairières ») dans lesquelles
existent des cycles attractifs. Lorsque l’on s’approche de la valeur r = 4, ces clairières
deviennent de plus en plus ténues, l’arbre se densifie. Ainsi, avec une définition du
chaos voisine de celle que nous avons donnée, Jakobson a montré en 1981 que « plus
r s’approche de la valeur 4, moins on a de chances d’échapper au chaos ». L’énoncé
rigoureux revêt une forme plus abstraite faisant appel à la mesure de Lebesgue.
On montre par ailleurs l’existence de m-cycles stables pour toute valeur de m. Ceci
est mis en évidence sur la figure 12.12 pour les valeurs de m de 2 à 8. Le cycle d’ordre
impair le plus apparent est le 3-cycle, dont un calcul analytique montre l’apparition
au-delà de r = \ + Vs ^ 3, 8284.
1 2.3.2.2
Les 3 ty p e s d e mesure pour Tattracteur
F(x) est la fonction de répartition d’une mesure de probabilité, par essence positive
et de masse totale 1. Or, il existe trois types distincts de mesures et il est remarquable
que, faisant varier r, on rencontre les trois types de mesure :
• mesure discrète : pour r conduisant à un w-cycle attractif, F(x) présente m sauts
d’amplitude 1/m. La mesure est équirépartie sur les m points du cycle. Par exemple,
F(x) présente pour r = 3,5 quatre sauts d’amplitude 1/4 (figure 12.1 Ib).
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