Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
Figure 1 2.1 2 - Le diagramme de bifurcation, ou arbre de Feigenbaum.
Le constat est encore plus net pour les systèmes à temps discret car nous disposons avec la suite logistique d’un système également polynomial de degré 2, mais
de dimension 7, et qui donne lieu pour des valeurs convenables de r à un comportement chaotique. Observons en effet la fonction de répartition F(x) pour une valeur
excédant la limite (roo - 3,569946) des doublements de période initiaux.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
x :
g i
>Q .
O
U
0.1 0, 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1.0
Figure 1 2.1 3- La fonction de répartition pour deux valeurs de r.
Les différences avec la figure 12.11b sont frappantes :
- il n’y a plus de saut apparent, les courbes semblent continues ;
- les valeurs de x semblent denses dans un (figure 12.13 droite) ou deux (figure 12.13
gauche) intervalles.
Nous utilisons sciemment un vocabulaire prudent, car la complexité des phénomènes
en jeu peut conduire à des apparences trompeuses !
192