12.3. Le chaos dans un système à temps discret
•a
O c
13
Q
1— 1
O Г М
ai
>C L
O
U
1 2 . 3
L e C H A O S D A N S UN SYSTÈM E À TE M PS
D ISC R ET
Cette section concerne les systèmes à temps discret sur R", mais nous y ferons largement appel à l’exemple de la suite logistique, qui se généralise à une vaste classe de
systèmes.
1 2 .3 .1
L’a r b r e d e F eigenbaum
Pour la suite logistique, les valeurs de r aux bifurcations successives vers les 2-cycle,
4-cycle,..., 2'”-cycle, tendent vers une limite Гоо proche de 3,569946. L’existence de
la limite résulte du fait que, si l’on nomme г/ la /-ème valeur de bifurcation, le rapport
(/7+1 - г/)/(г/ - r/_i) tend vers un nombre strictement inférieur à 1. Son inverse est la
première constante (ou nombre) de Feigenbaum, de valeur 6 ^ 4,669202. Sa validité pour une large classe de suites a été prouvée en 1964 par Mitchell Feigenbaum,
physicien théoricien américain.
Par ailleurs, les valeurs des écartements en jc des diverses « fourches » de l’arbre ont
des rapports qui tendent vers la deuxième constante (ou nombre) de Feigenbaum,
de valeur a ^ 2, 502908. L’extension du diagramme de bifurcation jusqu’à la valeur
r = 4 met clairement en évidence la suite de bifurcations de doublement de période.
Les deux branches se divisent en quatre comme le montre la figure 12.1 la, puis en
huit, seize, etc. (figure 12.12), ceci jusqu’à la valeur Гоо - 3,569946 au-delà de
laquelle apparaît le phénomène de chaos. Les premières valeurs des г/ (bifurcations)
et Si (superstabilité) sont les suivantes :
.Ç Q = 2
= 1 + V5 ^ 3,236068
.52 ^ 3,498562
û
©
ro = 1
(a devient stable)
r\ = 3
(début 2-cycle)
K2 = \ + V6 ^ 3,449490 (début 4-cycle)
T3 ^ 3,544090
(début 8-cycle)
T4 ^ 3,564407
(début 16-cycle)
Too - 3,569946
La nature arborescente du diagramme, tout au moins jusqu’à Too lui vaut aussi l’appellation d’arbre de Feigenbaum. L’exploration de ses propriétés fines donne lieu
depuis les années 1960 à une abondante littérature.
1 2 .3 .2
Le chaos en te m p s discret
Pour les systèmes à temps continu x = f{x), l’exemple dans R^ du système de Lorenz,
pour lequel / est polynomiale de degré 2, nous a montré que l’apparition du chaos
n’exige pas de recourir à une fonction / sophistiquée.
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L e C H A O S D A N S UN SYSTÈM E À TE M PS
D ISC R ET
Cette section concerne les systèmes à temps discret sur R", mais nous y ferons largement appel à l’exemple de la suite logistique, qui se généralise à une vaste classe de
systèmes.
1 2 .3 .1
L’a r b r e d e F eigenbaum
Pour la suite logistique, les valeurs de r aux bifurcations successives vers les 2-cycle,
4-cycle,..., 2'”-cycle, tendent vers une limite Гоо proche de 3,569946. L’existence de
la limite résulte du fait que, si l’on nomme г/ la /-ème valeur de bifurcation, le rapport
(/7+1 - г/)/(г/ - r/_i) tend vers un nombre strictement inférieur à 1. Son inverse est la
première constante (ou nombre) de Feigenbaum, de valeur 6 ^ 4,669202. Sa validité pour une large classe de suites a été prouvée en 1964 par Mitchell Feigenbaum,
physicien théoricien américain.
Par ailleurs, les valeurs des écartements en jc des diverses « fourches » de l’arbre ont
des rapports qui tendent vers la deuxième constante (ou nombre) de Feigenbaum,
de valeur a ^ 2, 502908. L’extension du diagramme de bifurcation jusqu’à la valeur
r = 4 met clairement en évidence la suite de bifurcations de doublement de période.
Les deux branches se divisent en quatre comme le montre la figure 12.1 la, puis en
huit, seize, etc. (figure 12.12), ceci jusqu’à la valeur Гоо - 3,569946 au-delà de
laquelle apparaît le phénomène de chaos. Les premières valeurs des г/ (bifurcations)
et Si (superstabilité) sont les suivantes :
.Ç Q = 2
= 1 + V5 ^ 3,236068
.52 ^ 3,498562
û
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ro = 1
(a devient stable)
r\ = 3
(début 2-cycle)
K2 = \ + V6 ^ 3,449490 (début 4-cycle)
T3 ^ 3,544090
(début 8-cycle)
T4 ^ 3,564407
(début 16-cycle)
Too - 3,569946
La nature arborescente du diagramme, tout au moins jusqu’à Too lui vaut aussi l’appellation d’arbre de Feigenbaum. L’exploration de ses propriétés fines donne lieu
depuis les années 1960 à une abondante littérature.
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Le chaos en te m p s discret
Pour les systèmes à temps continu x = f{x), l’exemple dans R^ du système de Lorenz,
pour lequel / est polynomiale de degré 2, nous a montré que l’apparition du chaos
n’exige pas de recourir à une fonction / sophistiquée.
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