3. Enfin, pour r > 1 + Vô, le 2-cycle devient instable et n’apparaît donc plus. En
revanche, il y a apparition d’un 4-cycle.
En résumé, ce diagramme montre :
- la bifurcation « équilibre stable vers équilibre instable + 2-cycle stable » pour
r = 3 ;
- la bifurcation « équilibre instable + 2-cycle stable vers équilibre instable -i- 2-cycle
instable + 4-cycle stable » pour r = \ + Vb.
Mais il ne montre pas les équilibres ou cycles instables. Il s’agit en fait plus d’une
figuration des points adhérents de la suite
que d’un diagramme de bifurcation
complet, bien que cette dernière dénomination soit consacrée par l’usage.
La figure 12.11b (tracé de F{x) pour r = 3,5) montre un saut de valeur 1/4 en
chacun des x constituant le 4-cycle. La valeur r = 3,5 est représentée par un pointillé
vertical en figure 12.1 la.
Signalons que les quatre segments verticaux de longueur 1/4 (figure J 2. J J b) sont
attachés au mode de tracé mais n ’appartiennent pas au graphe de F{x), qui est discontinu.
Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
■a O
c
D
Q
Ю
O
rs]
ai
>C L
O
U
1 2 .2 .4
D e s m - c y c le s pour to u t m
Nous avons vu que pour tout m, il existe une plage de valeurs de r pour lesquelles il
existe un 2'"-cycle. Mais peut-on mettre en évidence un m-cycle pour tout m entier
positif ? La réponse est positive et tient en deux points :
- il existe un 3-cycle pour certaines valeurs de r ;
- le théorème de Sarkovski indique que s’il existe un cycle d’ordre 3, alors il existe
des m-cycles pour tout m entier supérieur à 1.
Ce théorème, que nous ne démontrerons pas s’appuie sur la relation d’ordre >
suivante :
3>5>7>9> Il >--->3.2' >5.2' >7.2' >9.2' > •••
■ • • > 3.2'" > 5.2'" > 7.2'" > 9.2'" >--->2'">--->]6>8>4>2>l.
Apparaissent donc dans l’ordre croissant tous les impairs, puis leurs doubles, puis
leurs quadruples, etc., enfin toutes les puissances de 2 par ordre décroissant. Le théorème de Sarkovski dispose que si le système possède un /:-cycle, il possède un mcycle pour tout m tel que k>m (par exemple, par transitivité de >, on a 3 > 2).
En outre, la fenêtre de périodicité 3 qui s’ouvre h r = 1 + VS ^ 3,828427 débouche
lorsqu’on augmente r vers une zone de 6-cycles, puis de 12-cycles, ••• , 3 x 2^cycles, etc. Cette cascade de doublements de période est un phénomène général qui
s’observe à partir de tout cycle, quelle qu’en soit la période.
190
revanche, il y a apparition d’un 4-cycle.
En résumé, ce diagramme montre :
- la bifurcation « équilibre stable vers équilibre instable + 2-cycle stable » pour
r = 3 ;
- la bifurcation « équilibre instable + 2-cycle stable vers équilibre instable -i- 2-cycle
instable + 4-cycle stable » pour r = \ + Vb.
Mais il ne montre pas les équilibres ou cycles instables. Il s’agit en fait plus d’une
figuration des points adhérents de la suite
que d’un diagramme de bifurcation
complet, bien que cette dernière dénomination soit consacrée par l’usage.
La figure 12.11b (tracé de F{x) pour r = 3,5) montre un saut de valeur 1/4 en
chacun des x constituant le 4-cycle. La valeur r = 3,5 est représentée par un pointillé
vertical en figure 12.1 la.
Signalons que les quatre segments verticaux de longueur 1/4 (figure J 2. J J b) sont
attachés au mode de tracé mais n ’appartiennent pas au graphe de F{x), qui est discontinu.
Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
■a O
c
D
Q
Ю
O
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>C L
O
U
1 2 .2 .4
D e s m - c y c le s pour to u t m
Nous avons vu que pour tout m, il existe une plage de valeurs de r pour lesquelles il
existe un 2'"-cycle. Mais peut-on mettre en évidence un m-cycle pour tout m entier
positif ? La réponse est positive et tient en deux points :
- il existe un 3-cycle pour certaines valeurs de r ;
- le théorème de Sarkovski indique que s’il existe un cycle d’ordre 3, alors il existe
des m-cycles pour tout m entier supérieur à 1.
Ce théorème, que nous ne démontrerons pas s’appuie sur la relation d’ordre >
suivante :
3>5>7>9> Il >--->3.2' >5.2' >7.2' >9.2' > •••
■ • • > 3.2'" > 5.2'" > 7.2'" > 9.2'" >--->2'">--->]6>8>4>2>l.
Apparaissent donc dans l’ordre croissant tous les impairs, puis leurs doubles, puis
leurs quadruples, etc., enfin toutes les puissances de 2 par ordre décroissant. Le théorème de Sarkovski dispose que si le système possède un /:-cycle, il possède un mcycle pour tout m tel que k>m (par exemple, par transitivité de >, on a 3 > 2).
En outre, la fenêtre de périodicité 3 qui s’ouvre h r = 1 + VS ^ 3,828427 débouche
lorsqu’on augmente r vers une zone de 6-cycles, puis de 12-cycles, ••• , 3 x 2^cycles, etc. Cette cascade de doublements de période est un phénomène général qui
s’observe à partir de tout cycle, quelle qu’en soit la période.
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