12.2. Les cycles de la suite logistique pour 3 < к <4
12.2.3.3 Diagramme de bifurcation
Si Гоп choisit xo dans le bassin d’attraction d’un /c-cycle, alors après une phase (ou
régime) qu’on peut qualifier de transitoire, le système suit le ^-cycle avec une précision arbitrairement grande. Dans cette phase que les physiciens nomment permanente, le système emprunte chaque état du /г-cycle une fois sur k. On peut donc de
façon naturelle attribuer une probabilité Xjk à chacun des éléments du /г-cycle. À cette
probabilité, s’associe la fo n c tio n de répartition F{x) de l’état, probabilité que l’état
soit inférieur ou égal à x.
Une analyse plus fine que nous ne détaillerons pas établit l’égalité entre moyennes
temporelle et statistique, que l’on nomme ergodicité. Celle-ci permet d’identifier
F{x) à la limite, quand n
o o , de la proportion de v/ (/ = 0 à n) inférieurs ou égaux
à JC . Si l’on porte en abscisse les valeurs de r et en ordonnée les valeurs des jc/ obtenues
en régime permanent, on obtient des éléments du diagramme de bifurcation.
■a
O
c
3
û
C D
tH
O
ГМ
X I
ai
>Q.
O
U
a) diagramme de bifurcation
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
b) fonction de répartition
û
@
Figure 1 2.1 1 - a) Esquisse du diagramme de bifurcation de la suite logistique,
r variant de 2,8 à 3,52.
b) Fonction de répartition pour r = 3,5.
La figure 12.1 la, tracée en coordonnées (r, jc) appelle déjà plusieurs remarques :
1. L’équilibre a = 1 - 1/r apparaît; le point (r, 1 - 1/r) décrit une hyperbole
d’asymptotes r = 0 et x = 1. Toutefois, comme l’esquisse fait apparaître les
points effectivement visités en régime permanent, l’équilibre a n’apparaît que
lorsqu’il est stable, c’est-à-dire lorsque r < 3. C’est en cela que la figure ne
représente qu’une partie du diagramme de bifurcation au sens habituel.
2. La même remarque vaut pour le 2-cycle, qui existe pour r > 3 mais n’est stable
que pour r < r2 = 1 + Vô ^ 3,449. Le 2-cycle devient ensuite instable et
n’apparaît plus sur le diagramme.
189
12.2.3.3 Diagramme de bifurcation
Si Гоп choisit xo dans le bassin d’attraction d’un /c-cycle, alors après une phase (ou
régime) qu’on peut qualifier de transitoire, le système suit le ^-cycle avec une précision arbitrairement grande. Dans cette phase que les physiciens nomment permanente, le système emprunte chaque état du /г-cycle une fois sur k. On peut donc de
façon naturelle attribuer une probabilité Xjk à chacun des éléments du /г-cycle. À cette
probabilité, s’associe la fo n c tio n de répartition F{x) de l’état, probabilité que l’état
soit inférieur ou égal à x.
Une analyse plus fine que nous ne détaillerons pas établit l’égalité entre moyennes
temporelle et statistique, que l’on nomme ergodicité. Celle-ci permet d’identifier
F{x) à la limite, quand n
o o , de la proportion de v/ (/ = 0 à n) inférieurs ou égaux
à JC . Si l’on porte en abscisse les valeurs de r et en ordonnée les valeurs des jc/ obtenues
en régime permanent, on obtient des éléments du diagramme de bifurcation.
■a
O
c
3
û
C D
tH
O
ГМ
X I
ai
>Q.
O
U
a) diagramme de bifurcation
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
b) fonction de répartition
û
@
Figure 1 2.1 1 - a) Esquisse du diagramme de bifurcation de la suite logistique,
r variant de 2,8 à 3,52.
b) Fonction de répartition pour r = 3,5.
La figure 12.1 la, tracée en coordonnées (r, jc) appelle déjà plusieurs remarques :
1. L’équilibre a = 1 - 1/r apparaît; le point (r, 1 - 1/r) décrit une hyperbole
d’asymptotes r = 0 et x = 1. Toutefois, comme l’esquisse fait apparaître les
points effectivement visités en régime permanent, l’équilibre a n’apparaît que
lorsqu’il est stable, c’est-à-dire lorsque r < 3. C’est en cela que la figure ne
représente qu’une partie du diagramme de bifurcation au sens habituel.
2. La même remarque vaut pour le 2-cycle, qui existe pour r > 3 mais n’est stable
que pour r < r2 = 1 + Vô ^ 3,449. Le 2-cycle devient ensuite instable et
n’apparaît plus sur le diagramme.
189