Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
Toujours pour r = 3, 54, revisitons la figure 12.8 droite :
Figure 1 2.10- Les points d’intersection de la courbe x ^ f^ (x ) et de la 1 bissectrice
sont liés aux équilibres, 2-cycles et 4-cycles du système
= fix ^ ).
T J
O c rj
û
Ю tH
O
ГМ
X I
OJ
>Q.
O
U
On observe que, mise à part la solution triviale 0, la courbe de la 4® itérée x
f^(x) coupe la première bissectrice en 7 points :
• a\ = 1 - 1/r est l’unique équilibre simple sur ] 0, 1 [. Il est instable ;
• f e j ¿>2) • il s’agit du 2-cycle — [1 + r ± V(1 + ~ 3)], apparu pour r > 3 et
2 r
devenu instable au-delà de r = 1 -b Vb ^ 3,449 ;
• (i^4, ¿>4, c*4, < 74) : il s’agit du 4-cycle apparu pour r > \ + V6 : ce 4-cycle est
stable, ce que l’on peut constater soit par examen de la figure 12 .10, soit par calcul
du multiplicateur (f^)'(aA) = • • • = {f^)'{dA) : ce nombre appartient en effet à
] - 1, 4-1 [. Le cycle est décrit dans l’ordre «4 — » /74
q
i/4 < 34.
12.2.3.2
Les 2 ^ - c y c le s
Par un mécanisme analogue aux bifurcations précédentes, l’augmentation des valeurs
de r conduit à de nouveaux doublements de période, donc à un 8-cycle, un 16-cycle,
et ainsi de suite. Les valeurs successives des r correspondants sont de plus en plus
rapprochées, et convergent à peu près exponentiellement (le facteur est inférieur à
1/4 ; nous y reviendrons) vers une valeur limite. Retenons donc que pour tout m entier,
il y a dans une plage convenable de valeurs de r un 2' ^^-cycle stable, qui bifurque vers
un 2"^-cycle instable doublé d’un 2'”'^*-cycle stable.
188
Toujours pour r = 3, 54, revisitons la figure 12.8 droite :
Figure 1 2.10- Les points d’intersection de la courbe x ^ f^ (x ) et de la 1 bissectrice
sont liés aux équilibres, 2-cycles et 4-cycles du système
= fix ^ ).
T J
O c rj
û
Ю tH
O
ГМ
X I
OJ
>Q.
O
U
On observe que, mise à part la solution triviale 0, la courbe de la 4® itérée x
f^(x) coupe la première bissectrice en 7 points :
• a\ = 1 - 1/r est l’unique équilibre simple sur ] 0, 1 [. Il est instable ;
• f e j ¿>2) • il s’agit du 2-cycle — [1 + r ± V(1 + ~ 3)], apparu pour r > 3 et
2 r
devenu instable au-delà de r = 1 -b Vb ^ 3,449 ;
• (i^4, ¿>4, c*4, < 74) : il s’agit du 4-cycle apparu pour r > \ + V6 : ce 4-cycle est
stable, ce que l’on peut constater soit par examen de la figure 12 .10, soit par calcul
du multiplicateur (f^)'(aA) = • • • = {f^)'{dA) : ce nombre appartient en effet à
] - 1, 4-1 [. Le cycle est décrit dans l’ordre «4 — » /74
q
i/4 < 34.
12.2.3.2
Les 2 ^ - c y c le s
Par un mécanisme analogue aux bifurcations précédentes, l’augmentation des valeurs
de r conduit à de nouveaux doublements de période, donc à un 8-cycle, un 16-cycle,
et ainsi de suite. Les valeurs successives des r correspondants sont de plus en plus
rapprochées, et convergent à peu près exponentiellement (le facteur est inférieur à
1/4 ; nous y reviendrons) vers une valeur limite. Retenons donc que pour tout m entier,
il y a dans une plage convenable de valeurs de r un 2' ^^-cycle stable, qui bifurque vers
un 2"^-cycle instable doublé d’un 2'”'^*-cycle stable.
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