12.2. Les cycles de la suite logistique pour 3 < r <4
Ce schéma, dont la logique est la même que celle de la figure 12.7, montre la génèse de la bifurcation : pour r < 1 + Vô ^ 3,449 le graphe de
coupe la F® bissectrice en trois points, représentant l’équilibre a et un 2-cycle stable. Pour r > \ + V6,
la figure de droite fait apparaître quatre autres solutions de f^(x) = x qui encadrent
les valeurs x' et x". On constate simultanément :
•
X
> 1 • donc, le 2-cycle devient instable ;
• une valeur strictement inférieure à 1 de |(/"^)'| aux 4 nouvelles racines, ce qui atteste
la stabilité du 4-cycle nouvellement apparu.
En résumé, on a mis en évidence une bifurcation « équilibre instable + 2-cycle stable
vers équilibre instable -i- 2-cycle instable + 4-cycle stable ».
1 2.2.3.1
Les 4 -c y c le s
Voici le diagramme obtenu pour r = 3, 54 (> 1 -h ^¡6 ) :
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
J Z
g i
>Q.
O
U
Figure 12.9- Pour r = 3,54 il y a un 4-cycle stable. Les premières itérations s’éloignent
de a = 1 - 1/^, équilibre instable. Il y a ensuite convergence suffisamment rapide vers le
4-cycle pour qu’on ne puisse pas distinguer les 40 itérations.
Q
©
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