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O c rj
Q
« JD
y — \
O
( N
@
ai
>C L
O
U
Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
Ce schéma illustre bien la nature de la bifurcation : pour r < 3 le graphe de
coupe la
bissectrice en 0 et à l’équilibre a = 1 - 1/r qui, solution de f(x) = x,
est a fortiori solution de f^{x) = x. Pour autant, a n’est pas élément d’un 2-cycle
propre. Pour r > 3, la figure de droite fait apparaître deux solutions de f^(x) = x qui
encadrent la valeur a = 1 - 1/r. Ce sont les racines x' et x" du polynôme TI{x), de
valeurs — [1 +r± ^¡ôl avec (î = (1 + r)(r - 3). Lorsque r dépasse la valeur 3, on
2 r
constate :
le dépassement par [f(a)\ de la valeur 1 : donc, a devient instable ;
une valeur strictement inférieure à 1 du multiplicateur \ f'{x')x f{x'')\ = |1
qui montre que le 2-cycle apparu est stable.
(51, ce
En résumé, on a mis en évidence une bifurcation « équilibre stable vers équilibre
instable + 2-cycle stable ».
Notons que pour (5 = 1 le multiplicateur (/^)'(jc) = 1 - (5 du cycle est nul : le
cycle est par définition super-attractif, qualificatif en accord avec son homonyme
relatif aux équilibres. On peut en effet considérer qu’un équilibre a est un 1-cycle de
multiplicateur f{a). Le paramètre r vaut alors
= 1 -i- Vs ^ 3,236. Rappelons que
pour r = 5() = 2, nous avions identifié la super-attractivité de l’équilibre 1/2.
1 2 .2 .3
Bifurcations de d o u b le m en t de période
Comme nous avons vu que le 2-cycle devient instable pour r > \ + V6, la valeur
r = I + Vb, notée T2, est une bifurcation. Le multiplicateur du 2-cycle est alors
1 - ô = - \ .
Il en résulte que {f^)'{x') = {f^)'{x") = 1. La courbe de la 4® itérée de / est dans
ce cas tangente à la P® bissectrice aux points d’abscisses x' et x " . Pour r > l + V6,
elle la traverse en quatre nouveaux points qui représentent un 4-cycle.
Figure 1 2.8- Courbe x f '( x ) = (f^ o p ){x ). Pour r = 1 + V6 (figure centrale), la courbe
de C* est tangente en deux points à la F® bissectrice, puis la traverse pour r > 1 + V6
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Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
Ce schéma illustre bien la nature de la bifurcation : pour r < 3 le graphe de
coupe la
bissectrice en 0 et à l’équilibre a = 1 - 1/r qui, solution de f(x) = x,
est a fortiori solution de f^{x) = x. Pour autant, a n’est pas élément d’un 2-cycle
propre. Pour r > 3, la figure de droite fait apparaître deux solutions de f^(x) = x qui
encadrent la valeur a = 1 - 1/r. Ce sont les racines x' et x" du polynôme TI{x), de
valeurs — [1 +r± ^¡ôl avec (î = (1 + r)(r - 3). Lorsque r dépasse la valeur 3, on
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constate :
le dépassement par [f(a)\ de la valeur 1 : donc, a devient instable ;
une valeur strictement inférieure à 1 du multiplicateur \ f'{x')x f{x'')\ = |1
qui montre que le 2-cycle apparu est stable.
(51, ce
En résumé, on a mis en évidence une bifurcation « équilibre stable vers équilibre
instable + 2-cycle stable ».
Notons que pour (5 = 1 le multiplicateur (/^)'(jc) = 1 - (5 du cycle est nul : le
cycle est par définition super-attractif, qualificatif en accord avec son homonyme
relatif aux équilibres. On peut en effet considérer qu’un équilibre a est un 1-cycle de
multiplicateur f{a). Le paramètre r vaut alors
= 1 -i- Vs ^ 3,236. Rappelons que
pour r = 5() = 2, nous avions identifié la super-attractivité de l’équilibre 1/2.
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Bifurcations de d o u b le m en t de période
Comme nous avons vu que le 2-cycle devient instable pour r > \ + V6, la valeur
r = I + Vb, notée T2, est une bifurcation. Le multiplicateur du 2-cycle est alors
1 - ô = - \ .
Il en résulte que {f^)'{x') = {f^)'{x") = 1. La courbe de la 4® itérée de / est dans
ce cas tangente à la P® bissectrice aux points d’abscisses x' et x " . Pour r > l + V6,
elle la traverse en quatre nouveaux points qui représentent un 4-cycle.
Figure 1 2.8- Courbe x f '( x ) = (f^ o p ){x ). Pour r = 1 + V6 (figure centrale), la courbe
de C* est tangente en deux points à la F® bissectrice, puis la traverse pour r > 1 + V6
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