12.2. Les cycles de la suite logistique pour 3 < r <4
On peut résumer ces observations ainsi :
/2(x) = X ^
x (x - a) [ r^x^ - r{\ + r) X + ( \ + r)] - 0
= 0 en 0 et a
=0 au 2-cycle si r> 3
Pour r = 3 + e, un développement limité fournit le 2-cycle x = ^ ± ^ ^ + o( ^¡s).
Dans le plan (r, jc), le lieu des 2-cycles est donc assimilable, au voisinage du point
(3, |) , à la parabole r = 3 -i- 9 (a' - 2/3)^, qui a en ce point une tangente verticale.
Dans la suite, pour alléger les notations, nous noterons f la fonction précédemment notée fr.
X J
O
c
13
û
1— 1
O
rsl
(y)
gj
s _
>.
C L
O
U
1 2 .2 .2
S t a b i l i t é d u 2 - c y c le
Nous nous plaçons dans le cas où r > 3, qui correspond à l’existence d’un 2-cycle.
Les racines x' et x" du polynôme / 7 ( a ) sont — (1 -h r + ^|ô), avec ù = (1 -i- r)(r - 3) ;
2 r
/ ' ( a) = - 2 rx r = - \ ± Vù.
D’où f'{x').f'{x") = (-1 - I - Vù)(-1 - Vù) = 1 - ù = -p- -\-2r 4. Cette expression
vaut 1 pour r = 3. Quand r augmente, elle décroît jusqu’à 0 pour r = 1 + V5 ^ 3,236,
puis jusqu’à -1 pour r = 1 -h Vô ^ 3,449 et reste inférieure à -1 pour r > \ -\- Vb.
Ceci montre que le 2-cycle, qui existe toujours pour r > 3 :
• est stable pour 3 < r < 1 -H V6 {superstable pour r - \ + Vô) ;
• est instable pour r > 1 - I - V6.
La figure 12.6 correspond à r = 3, 2 et met donc en évidence un 2-cycle stable. Une
autre approche aboutit aux mêmes conclusions : l’analyse du système a^+i = f^(xk),
où
désigne le carré de / au sens de la composition (/^ = / o /)•
a
©
Figure 1 2.7- Courbe x h-» P(x) = {f o f){x)‘ , le petit point noir figure l’équilibre a= l-l/r.
Pour r = 3 (figure centrale), une bifurcation introduit un 2-cycle (figure de droite).
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