Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
Figure 1 2.6- L’équilibre îî = 1 - 1/r devient instable; un 2-cycle apparaît
(voir § suivant).
1 2 . 2
L e s c y c l e s d e l a s u i t e l o g i s t i q u e
PO U R 3 < r < 4
Précisons dès à présent que nous ne prolongerons pas l’étude au-delà de r = 4 car,
pour r > 4 , /r([0> 1]) n’est plus contenu dans notre segment [0, 1] d’analyse.
•a
O c
13
û
tH
O
(N
(y)
C T
>Q .
O
U
1 2 .2 .1
E x i s t e n c e d ’un 2 - c y c le
La recherche des 2-cycles coïncide avec celle des équilibres du système : Xf^+\ =
Ceux-ci sont fournis par l’équation fi{ x ) - x = 0, c’est-à-dire :
r^x(1 - .t) [ 1 - rx{\ - .t)] - X = 0.
Cette équation s’écrit aussi :
.T \r^x^ - iPx^ + (r^ + r^)x + (1 - r^)] = 0,
équation dans laquelle le facteur x correspond à l’équilibre 0, qui est bien sûr aussi
un équilibre du système fi.
Le crochet [ ] s’annule nécessairement pour x = a (car a est un équilibre du
système fi) et possède donc le facteur x - a = v - 1 -i- Sachant cela, la factorisation
ne pose pas de problème et s’exprime
l
IT(x) = r^~x^ - r (1 + r) Ji + (1 + r)
[ ] = (x - \ + -) .r . IT(x), avec
r
Le discriminant de ce polynôme est A =
(1 -i- r)(r - 3) = p- ô. Nous constatons
l’existence de deux racines de n(x) pour r > 3. Elles correspondent à un 2-cycle.
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