12.1. Les équilibres de la suite logistique pour r >0
Exercice 12.1 Un éq u ilibre a ttr a c tif p o u r r = 3
À r équilibre a d ’un système monodimensionnel, la valeur \ f'{a)\ = \ ne permet pas
de conclure quant à la nature stable ou instable de a. Dans le cas présent, un calcul
analytique le permet.
Soit le système X k + \ = f\xk) avec f{x) = 3 jc(1 - x ). On appelle a l’équilibre 2/3,
équilibre pour lequel f{a) = -1 .
f \a s) - a
1. Pour s e R*, calculer le rapport d’éloignement
Peut-on en déduire si a est ou non stable ?
2. Calculer le rapport d’éloignement sur deux itérations
f^(a + s) - a
(où
désigne la fonction itérée fof). Conclure quant à la stabilité dea = 2/3.
X J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
xz
ai
>Q.
O
U
H
û
@
Figure 1 2.5 - Pour r = 3, et pour tout Xq e [0, 1 ], il y a convergence de vers a = 2/3,
mais cette convergence est très lente. Le nombre d’itérations est 20 pour la figure de
gauche, 40 pour le « zoom » de droite. Le bassin d’attraction est A tt{2 /3 } = [0, 1].
La suite va montrer que pour r = 3, valeur que nous noterons r\, le système présente une bifurcation.
5® cas : r > 3
L’équilibre 0 est une source pour la même raison que dans le 4® cas.
|//(i/)| = 2 - r < -1 : l’équilibre a est donc lui aussi instable. L’éloignement par
rapport à a se fait dans son voisinage de façon alternée : il y a divergence en spirale.
Ceci achève l’étude des équilibres. Mais ces derniers ne décrivent qu’une facette du
comportement du système. Car les cycles sont des éléments structurants importants
pour avoir une vue d’ensemble des trajectoires. La figure précédente en donne un
premier aperçu. Nous reportons leur étude au paragraphe suivant, et constaterons que
ce 5® cas se divise lui-même en une série foisonnante de sous-cas.
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Exercice 12.1 Un éq u ilibre a ttr a c tif p o u r r = 3
À r équilibre a d ’un système monodimensionnel, la valeur \ f'{a)\ = \ ne permet pas
de conclure quant à la nature stable ou instable de a. Dans le cas présent, un calcul
analytique le permet.
Soit le système X k + \ = f\xk) avec f{x) = 3 jc(1 - x ). On appelle a l’équilibre 2/3,
équilibre pour lequel f{a) = -1 .
f \a s) - a
1. Pour s e R*, calculer le rapport d’éloignement
Peut-on en déduire si a est ou non stable ?
2. Calculer le rapport d’éloignement sur deux itérations
f^(a + s) - a
(où
désigne la fonction itérée fof). Conclure quant à la stabilité dea = 2/3.
X J
O
c
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û
« JD
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O
CM
(y)
xz
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>Q.
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H
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Figure 1 2.5 - Pour r = 3, et pour tout Xq e [0, 1 ], il y a convergence de vers a = 2/3,
mais cette convergence est très lente. Le nombre d’itérations est 20 pour la figure de
gauche, 40 pour le « zoom » de droite. Le bassin d’attraction est A tt{2 /3 } = [0, 1].
La suite va montrer que pour r = 3, valeur que nous noterons r\, le système présente une bifurcation.
5® cas : r > 3
L’équilibre 0 est une source pour la même raison que dans le 4® cas.
|//(i/)| = 2 - r < -1 : l’équilibre a est donc lui aussi instable. L’éloignement par
rapport à a se fait dans son voisinage de façon alternée : il y a divergence en spirale.
Ceci achève l’étude des équilibres. Mais ces derniers ne décrivent qu’une facette du
comportement du système. Car les cycles sont des éléments structurants importants
pour avoir une vue d’ensemble des trajectoires. La figure précédente en donne un
premier aperçu. Nous reportons leur étude au paragraphe suivant, et constaterons que
ce 5® cas se divise lui-même en une série foisonnante de sous-cas.
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