Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
Figure 12.3- Pourtour Xq pris dans ]0, 1 [, l’état Xk converge vers c¡= ^ - 1/r.
Pour r = 2, la dérivée à l’équilibre a est nulle, a est donc superstable. Ce qualificatif sera rappelé par la notation 2 = ^o- La convergence est extrêmement rapide :
T J
O c rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
Figure 1 2.4 - a est super-attractif : les marches de l’escalier de convergence cessent
d’être discernables après quelques itérations.
4® c a s : r = 3
Les deux équilibres sont alors 0 et a = 1 - 1/r = 2/3.
|//(0)| = 1/ 3(0)! = jrj = 3 > 1 montre que l’équilibre 0 est une source.
\f'(a)\ = |2 - rj = I - Ij = 1. Comme dans le 2® cas, ce constat ne permet pas de
conclure. Un calcul analytique (exercice 12.1) montre que a est un puits.
On pourrait aussi éviter tout calcul en construisant un diagramme itératif sur la
fonction
= / O / de la figure 12.7 centrale.
182
Figure 12.3- Pourtour Xq pris dans ]0, 1 [, l’état Xk converge vers c¡= ^ - 1/r.
Pour r = 2, la dérivée à l’équilibre a est nulle, a est donc superstable. Ce qualificatif sera rappelé par la notation 2 = ^o- La convergence est extrêmement rapide :
T J
O c rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
Figure 1 2.4 - a est super-attractif : les marches de l’escalier de convergence cessent
d’être discernables après quelques itérations.
4® c a s : r = 3
Les deux équilibres sont alors 0 et a = 1 - 1/r = 2/3.
|//(0)| = 1/ 3(0)! = jrj = 3 > 1 montre que l’équilibre 0 est une source.
\f'(a)\ = |2 - rj = I - Ij = 1. Comme dans le 2® cas, ce constat ne permet pas de
conclure. Un calcul analytique (exercice 12.1) montre que a est un puits.
On pourrait aussi éviter tout calcul en construisant un diagramme itératif sur la
fonction
= / O / de la figure 12.7 centrale.
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