12.1. Les équilibres de la suite logistique pour r>0
2® c a s : r = 1
Alors, fr(x) = f\(x) = x(\ - x). Les équilibres 0 et a coïncident.
Nous avons |//(0)| = |r| = 1. Ce simple constat ne permet pas de conclure sur
la nature de l’équilibre, mais l’examen du diagramme itératif atteste que 0 = îz est
instable. On peut le qualifier de semi-stable car il est « attractif à droite » et « répulsif
à gauche ». Il n’est pas attractif au sens strict.
Figure 1 2 .2 - Mise en évidence de la semi-stabilité en 0.
Bassins d’attraction : • Att{0 = a}
• Att{-oo]
= [0. 1]
= R - [0, 11
■a
O c D
Û
C D
1 — 1
O
CM
>C L
O
U
Nous restreindrons désonnais notre étude à x ^ [0, 1]. segment au sein duquel se
rencontrent les phénomènes les plus intéressants.
3® c a s : 1 < r < 3
i/;(0)i = kl > 1. Donc, 0 est une source (équilibre instable répulsif).
À l’opposé, \f'{a)\ = |2 - r| < 1, ce qui montre que a est un puits (équilibre stable
attractif, c’est-à-dire asymptotiquement stable). Nous noterons 1 = ro la valeur de r
au-delà de laquelle nous venons de constater que a devient stable.
Le diagramme met en évidence les bassins d’attraction :
• Att{0} = {0}U{1}
• Att{a] = 10, 1 [
(bornes de /)
(intervalle ouvert I =10, 1 [)
û
@
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