1 2 . 1
L e s é q u i l i b r e s d e l a s u i t e l o g i s t i q u e
PO U R r > 0
Chapitre 12 • Introduction au chaos en temps discret
À partir de l’application logistique f^jx) = rx(\ - x) (où r > 0), nous définissons le
système à temps discret
= fr(xk)
1 2 .1 .1
D onnées de b a s e
L’ensemble 8 des équilibres est donné par f,.{x) = jc, c’est-à-dire x(rx -i- 1 - r) = 0,
ce qui fournit deux équilibres (un seul s ir = l):0etfl = 1 - - .
r
On a f,.{x) - -2 rx + r, d’où f'{0) = r et /¡.(a) = 2 - r , expressions utiles car la
nature d’un équilibre est liée à la valeur de la dérivée en ce point.
1 c a s : 0 < r < 1
Comme \ f'{0)\ = |r| < 1,0 est un p u i t s (équilibre stable attractif).
V
A l’opposé, \f'{a)\ = |2 - r| > 1, ce qui montre que a est une s o u r c e (équilibre
instable répulsif).
O rsj
■ *->
sz
‘s_
>Q .
O
U
Figure 12.1 - Diagramme itératif de la suite logistique pour r = 0 ,7 et 4 valeurs de xq.
L’examen du diagramme itératif permet d’identifier les bassins d’attraction, ce que
confirmeraient des calculs analytiques élémentaires :
• Att{0}
• Att{a}
• Att{-oo]
]a = 1 - l/r, i[
{ûlU(i|
R - [a, i]
(intervalle ouvert /)
(bornes de /)
(intérieur du complémentaire de 7)
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