In t r o d u c t io n au
CHAOS EN TEMPS
DISCRET
L’application logistique x e R \-^ ff{x) = rx(\ - x) (où r > 0) se rencontre
presque inévitablement dans la théorie des systèmes dymamiques, ceci pour plusieurs
raisons :
• pour ^ G [0, 1 ], l’équation différentielle x = f,(x) modélise bien l’évolution de
la taille x d’une population dans un environnement dont les ressources limitées
interdisent toute valeur de x supérieure à 1. Pour x faible, on retrouve la croissance
exponentielle, dite malthusienne.
• pour .r G [0, 1 ] et G N, le système à temps discret x^+i = fr(xk) montre une
grande variété de comportements lorsqu’on donne à r des valeurs croissantes ; il
constitue une bonne approche de la notion de chaos.
• quel que soit le problème dans lequel on la met en jeu, la fonction f,-{x) présente
une simplicité qui favorise les raisonnements, voire permet des calculs analytiques.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
xz
O J
>•
C L
O
U
Q
©
L’application logistique a été analysée en 1845 par le mathématicien belge Pierre
François Verhulst dans l’étude de la dynamique d’une population. La forme s’explique simplement : le système x = r.r, où .r et r sont des réels positifs, modélise
la croissance d’une population entourée de ressources inépuisables. L’environnement
peut alors être qualifié d’infini.
La finitude du milieu est traduite par le facteur (1 - jc), qui empêche l’état jc de
franchir l’équilibre 1, valeur à laquelle on peut ramener tout plafond par un changement d’échelle. L’équation différentielle x = rx(\ - x) satisfait cette contrainte. Ce
système monodimensionnel à temps continu se résout analytiquement quelle que soit
la condition initiale jtq ; l’analyse exhaustive de ce problème est possible et simple.
Mais il en va autrement de la suite logistique x^+i = fr{xk). Son étude se révèle
en effet riche et complexe et donne lieu à nombre de publications et de questions
ouvertes, malgré la grande simplicité de la fonction en Jeu.
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CHAOS EN TEMPS
DISCRET
L’application logistique x e R \-^ ff{x) = rx(\ - x) (où r > 0) se rencontre
presque inévitablement dans la théorie des systèmes dymamiques, ceci pour plusieurs
raisons :
• pour ^ G [0, 1 ], l’équation différentielle x = f,(x) modélise bien l’évolution de
la taille x d’une population dans un environnement dont les ressources limitées
interdisent toute valeur de x supérieure à 1. Pour x faible, on retrouve la croissance
exponentielle, dite malthusienne.
• pour .r G [0, 1 ] et G N, le système à temps discret x^+i = fr(xk) montre une
grande variété de comportements lorsqu’on donne à r des valeurs croissantes ; il
constitue une bonne approche de la notion de chaos.
• quel que soit le problème dans lequel on la met en jeu, la fonction f,-{x) présente
une simplicité qui favorise les raisonnements, voire permet des calculs analytiques.
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L’application logistique a été analysée en 1845 par le mathématicien belge Pierre
François Verhulst dans l’étude de la dynamique d’une population. La forme s’explique simplement : le système x = r.r, où .r et r sont des réels positifs, modélise
la croissance d’une population entourée de ressources inépuisables. L’environnement
peut alors être qualifié d’infini.
La finitude du milieu est traduite par le facteur (1 - jc), qui empêche l’état jc de
franchir l’équilibre 1, valeur à laquelle on peut ramener tout plafond par un changement d’échelle. L’équation différentielle x = rx(\ - x) satisfait cette contrainte. Ce
système monodimensionnel à temps continu se résout analytiquement quelle que soit
la condition initiale jtq ; l’analyse exhaustive de ce problème est possible et simple.
Mais il en va autrement de la suite logistique x^+i = fr{xk). Son étude se révèle
en effet riche et complexe et donne lieu à nombre de publications et de questions
ouvertes, malgré la grande simplicité de la fonction en Jeu.
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