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Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
Les phénomènes observés par Lorenz s’expliquent par la présence d’un attracteur
étrange dont voici une représentation :
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Figure 1 1 .1 4 - L’attracteur de Lorenz.
Cet attracteur présente deux « ailes » dont aucune n’est invariante par le flot : après
un certain nombre de tours sur l’une, le flot emprunte l’autre pour une nouvelle ronde,
revient sur la première, et ainsi de suite.
Les simulations numériques amènent à attribuer à cet attracteur, appelé attracteur
de Lorenz, une dimension fractale de 2,06 environ. Mais on ne connaît pas sa valeur
exacte, ni sa nature rationnelle ou non. Cette dimension supérieure à deux indique
que rattracteur est « plus qu’une surface », tout en ayant un volume nul. En fait,
l’apparence d’ailes sans épaisseur est trompeuse : une analyse plus poussée montre
que r attracteur comporte une infinité de feuillets très proches les uns des autres.
Leur proximité est liée au caractère très dissipatif du flot : tout volume de l’espace
des phases se contracte en effet très vite lors de son tranport par le flot, ce que traduit
l’égalité Div / = -cr - \ - b - -41/3 (voir le § 2.3.3).
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