11.3. Introduction au chaos
L ’intuition d ’une impossibilité de prédictions météorologiques à long terme l ’a
amené à rechercher des solutions qui échappent aux 3 destins prescrits par le théorème de Poincaré-Bendixson. Notons que cette recherche eût été vaine en dimension 2, mais que Lorenz se plaçait en dimension supérieure. Il n ’a pas tardé à découvrir un phénomène remarquable de sensibilité aux conditions initiales, et s ’est
aussitôt attaché à simplifier le système initial autant que possible, tout en conservant
le phénomène observé.
Lorenz a ainsi abouti au système d’ordre 3 suivant :
X = -Œx-v cry
ij = -xz + rx - y
z = xy - bz
Dans ce système, les 3 coordonnées x, y et z ne sont pas des coordonnées d’espace
mais représentent des grandeurs physiques qui modélisent le problème de la convection d’un fluide bidimensionnel soumis :
- aux forces de gravité ;
- à un gradient de température.
Cette convection répond au schéma suivant (cas de cellules convectives) :
T J
O c rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
Figure 1 1.13- Les cellules de Rayleigh-Bénard.
(T, et r sont des paramètres. Certains choix de ces paramètres conduisent à
un équilibre. D’autres choix donnent lieu à l’apparition de cellules convectives
(figure 11.13), appelées cellules de R a yle ig h -B é n a rd . Pour certaines valeurs des
paramètres, par exemple cr = 10, = 8/3, r = 49/2, apparaissent des trajectoires
chaotiques.
Q
©
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L ’intuition d ’une impossibilité de prédictions météorologiques à long terme l ’a
amené à rechercher des solutions qui échappent aux 3 destins prescrits par le théorème de Poincaré-Bendixson. Notons que cette recherche eût été vaine en dimension 2, mais que Lorenz se plaçait en dimension supérieure. Il n ’a pas tardé à découvrir un phénomène remarquable de sensibilité aux conditions initiales, et s ’est
aussitôt attaché à simplifier le système initial autant que possible, tout en conservant
le phénomène observé.
Lorenz a ainsi abouti au système d’ordre 3 suivant :
X = -Œx-v cry
ij = -xz + rx - y
z = xy - bz
Dans ce système, les 3 coordonnées x, y et z ne sont pas des coordonnées d’espace
mais représentent des grandeurs physiques qui modélisent le problème de la convection d’un fluide bidimensionnel soumis :
- aux forces de gravité ;
- à un gradient de température.
Cette convection répond au schéma suivant (cas de cellules convectives) :
T J
O c rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
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Figure 1 1.13- Les cellules de Rayleigh-Bénard.
(T, et r sont des paramètres. Certains choix de ces paramètres conduisent à
un équilibre. D’autres choix donnent lieu à l’apparition de cellules convectives
(figure 11.13), appelées cellules de R a yle ig h -B é n a rd . Pour certaines valeurs des
paramètres, par exemple cr = 10, = 8/3, r = 49/2, apparaissent des trajectoires
chaotiques.
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