Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
On a donc TJ ^ (3/2); le signe « ^ » traduit le « presque » dont on vient de
parler Prenant le logarithme des deux membres ; 71n2 ^ 12(ln3 - ln2), d ’où
191n2 ^ 121n3. Donc, 6 —
ln2
12
-, que Von sait calculer à la main depuis
ln3
19
r Ecole primaire. U ami des deux Cantor trouve ainsi ô ^ 0,6316 contre une valeur
plus précise 0,6309, ce qui fait une erreur relative à peine supérieure à un pour
mille !
Un attracteur étrange concilie deux exigences semblant contradictoires :
- le fait d’être borné ;
- la sensibilité aux conditions initiales.
En effet, une analyse superficielle de la sensibilité aux conditions initiales conduirait
à en déduire un écart exponentiel entre trajectoires, donc le fait que celles-ci ne soient
pas bornées. En fait cette sensibilité ne revêt qu’un caractère local et implique ici un
repliement des trajectoires, et non l’éloignement illimité de l’état.
Ces commentaires sont de nature qualitative et mériteraient évidemment une étude
plus approfondie et rigoureuse.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q .
O
U
1 1 .3 .4 C h a o s e t a t t r a c t e u r s é t r a n g e s : u n e x e m p l e
Nous allons terminer cette introduction au chaos par un exemple classique,
r attracteur de Lorenz, qui revêt une importance particulière pour plusieurs raisons :
- il est le premier qui ait été mis en évidence grâce à des moyens informatiques ;
- il se situe dans R^, espace de dimension minimale permettant l’apparition du
chaos ;
- le système correspondant est très simple : polynomial, de degré 2 seulement
comme le système de Lotka-Volterra, qui modélise en dimension 2 la dynamique
proie-prédateur et dont on trouve la description dans de nombreux ouvrages ;
- enfin, il fait intervenir un attracteur qui n’est pas dénué de qualités esthétiques !
Un brin d^historique
A la fin des années 1950, au MIT, le météorologue Edward Lorenz (qu’on ne confondra pas avec le physicien Hendrik Antoon Lorentz ni avec l ’éthologue Konrad Lorenz, tous deux lauréats du prix Nobel) vient d ’acquérir un ordinateur imposant et
déjà assez performant pour simuler la dynamique atmosphérique par un système de
dimension 1 2 .
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On a donc TJ ^ (3/2); le signe « ^ » traduit le « presque » dont on vient de
parler Prenant le logarithme des deux membres ; 71n2 ^ 12(ln3 - ln2), d ’où
191n2 ^ 121n3. Donc, 6 —
ln2
12
-, que Von sait calculer à la main depuis
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r Ecole primaire. U ami des deux Cantor trouve ainsi ô ^ 0,6316 contre une valeur
plus précise 0,6309, ce qui fait une erreur relative à peine supérieure à un pour
mille !
Un attracteur étrange concilie deux exigences semblant contradictoires :
- le fait d’être borné ;
- la sensibilité aux conditions initiales.
En effet, une analyse superficielle de la sensibilité aux conditions initiales conduirait
à en déduire un écart exponentiel entre trajectoires, donc le fait que celles-ci ne soient
pas bornées. En fait cette sensibilité ne revêt qu’un caractère local et implique ici un
repliement des trajectoires, et non l’éloignement illimité de l’état.
Ces commentaires sont de nature qualitative et mériteraient évidemment une étude
plus approfondie et rigoureuse.
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Nous allons terminer cette introduction au chaos par un exemple classique,
r attracteur de Lorenz, qui revêt une importance particulière pour plusieurs raisons :
- il est le premier qui ait été mis en évidence grâce à des moyens informatiques ;
- il se situe dans R^, espace de dimension minimale permettant l’apparition du
chaos ;
- le système correspondant est très simple : polynomial, de degré 2 seulement
comme le système de Lotka-Volterra, qui modélise en dimension 2 la dynamique
proie-prédateur et dont on trouve la description dans de nombreux ouvrages ;
- enfin, il fait intervenir un attracteur qui n’est pas dénué de qualités esthétiques !
Un brin d^historique
A la fin des années 1950, au MIT, le météorologue Edward Lorenz (qu’on ne confondra pas avec le physicien Hendrik Antoon Lorentz ni avec l ’éthologue Konrad Lorenz, tous deux lauréats du prix Nobel) vient d ’acquérir un ordinateur imposant et
déjà assez performant pour simuler la dynamique atmosphérique par un système de
dimension 1 2 .
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