11.3. Introduction au chaos
R e m a r q u e s
1. La dimension fractale est définie en annexe 6. Elle généralise la notion de dimension habituelle (une droite est de dimension 1, un plan de dimension 2, etc.)
à des ensembles plus complexes, les fractales, qui peuvent se voir attribuer une
dimension d non-entière.
2. La condition d < n implique que la mesure de Lebesgue de l’attracteur dans R” est
nulle.
3. Dans l’étude d’un attracteur étrange, la mise en évidence par une simulation
numérique précède habituellement l’analyse théorique, qui peut s’avérer extrêmement difficile. Aussi, la majorité des attracteurs étranges font-ils l’objet de
conjectures.
E x e r c ic e 11.3 Une fr a c ta le d a n s R
S o it K l ’e n s e m b le d e s r é e ls d e [0 , 1] d o n t u n e é c r itu r e d é c im a le a u m o in s n e c o m p o r te
p a s le c h iffre 5.
E x e m p le s :
| = 0 , 5 0 0 0 • • • = 0 , 4 9 9 9 • • •
i = 0 , 3 3 3 3 • • • ,
e t -¡^ = 0 , 7 0 0 0 • • • = 0 , 6 9 9 9
1. M o n tr e r q u e K e s t c o m p a c t.
2 . C a lc u le r la d im e n s io n f ra c ta le ô d e K .
a p p a r tie n n e n t to u s tro is à K .
■a O
c
=3
Q
tu tH
O rvj
S I
C TI
‘s_
>. Q. O
U
û
Interm ède : le cantor au secours de C antor
Un pianiste amateur de mathématiques vient de calculer la dimension fractale
ln2 , ,
ô = -—- de l ’ensemble de Cantor (voir annexe 6 ), et en désire une valeur niiméln3
rique. Il ne dispose hélas ni de calculette, ni de table de logarithmes, seulement d ’un
crayon et d ’une feuille de papier. Comment peut-il s ’en tirer ?
Il sait, et cela lui suffit, que Jean-Sébastien Bach, l ’illustre cantor (maître de chapelle) de Leipzig, a promu la gamme tempérée. Celle-ci permet d ’utiliser de manière
très souple les 85 touches du piano, car elles définissent 84 demi-tons égaux... ou
presque ! c ’est d ’ailleurs tout l ’art des accordeurs que de gérer ce « presque ».
Or, 84 demi-tons représentent au choix :
- soit 1 octaves, chaque octave comptant 12 demi-tons ;
- soit 12 quintes justes, chaque quinte comptant 1 demi-tons.
Notre pianiste va alors traduire l ’équation 1 octaves = 12 quintes en utilisant le
fait que ces intervalles musicaux sont associés à des rapports de fréquences : 2 pour
l ’octave et 3/2 pour la quinte.
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R e m a r q u e s
1. La dimension fractale est définie en annexe 6. Elle généralise la notion de dimension habituelle (une droite est de dimension 1, un plan de dimension 2, etc.)
à des ensembles plus complexes, les fractales, qui peuvent se voir attribuer une
dimension d non-entière.
2. La condition d < n implique que la mesure de Lebesgue de l’attracteur dans R” est
nulle.
3. Dans l’étude d’un attracteur étrange, la mise en évidence par une simulation
numérique précède habituellement l’analyse théorique, qui peut s’avérer extrêmement difficile. Aussi, la majorité des attracteurs étranges font-ils l’objet de
conjectures.
E x e r c ic e 11.3 Une fr a c ta le d a n s R
S o it K l ’e n s e m b le d e s r é e ls d e [0 , 1] d o n t u n e é c r itu r e d é c im a le a u m o in s n e c o m p o r te
p a s le c h iffre 5.
E x e m p le s :
| = 0 , 5 0 0 0 • • • = 0 , 4 9 9 9 • • •
i = 0 , 3 3 3 3 • • • ,
e t -¡^ = 0 , 7 0 0 0 • • • = 0 , 6 9 9 9
1. M o n tr e r q u e K e s t c o m p a c t.
2 . C a lc u le r la d im e n s io n f ra c ta le ô d e K .
a p p a r tie n n e n t to u s tro is à K .
■a O
c
=3
Q
tu tH
O rvj
S I
C TI
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>. Q. O
U
û
Interm ède : le cantor au secours de C antor
Un pianiste amateur de mathématiques vient de calculer la dimension fractale
ln2 , ,
ô = -—- de l ’ensemble de Cantor (voir annexe 6 ), et en désire une valeur niiméln3
rique. Il ne dispose hélas ni de calculette, ni de table de logarithmes, seulement d ’un
crayon et d ’une feuille de papier. Comment peut-il s ’en tirer ?
Il sait, et cela lui suffit, que Jean-Sébastien Bach, l ’illustre cantor (maître de chapelle) de Leipzig, a promu la gamme tempérée. Celle-ci permet d ’utiliser de manière
très souple les 85 touches du piano, car elles définissent 84 demi-tons égaux... ou
presque ! c ’est d ’ailleurs tout l ’art des accordeurs que de gérer ce « presque ».
Or, 84 demi-tons représentent au choix :
- soit 1 octaves, chaque octave comptant 12 demi-tons ;
- soit 12 quintes justes, chaque quinte comptant 1 demi-tons.
Notre pianiste va alors traduire l ’équation 1 octaves = 12 quintes en utilisant le
fait que ces intervalles musicaux sont associés à des rapports de fréquences : 2 pour
l ’octave et 3/2 pour la quinte.
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