Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
Exercice 1 1 .2 E n sem b les sta b les, en sem b les-lim ites, a ttra ctio n
On considère un système localement lipschitzien sur Î2 c W\ Le but de l’exercice est
de montrer que, si A est une partie de O, il n’existe aucune implication entre les trois
propriétés suivantes (ou les propriétés contraires) :
- A est stable ;
- A est rensemble-limite d’un point xq G O ;
- A attire un ensemble B de mesure de Lebesgue positive.
On montrera par des exemples que les 2^ = 8 cas d’observation ou non de ces propriétés se réalisent effectivement.
On notera que lorsque les trois propriétés sont réalisées, A est par définition un
attracteur.
■a O
c
D
Q
kD
O
rM
(S)
X I
C T I
>•
Q.
O
U
Les a t t r a c t e u r s c l a s s i q u e s
Jusque dans les années 1960, et bien qu’on pût pressentir depuis les travaux déjà
anciens de Poincaré que les comportement chaotiques réservaient des surprises, les
attracteurs dûment répertoriés se classaient dans trois catégories seulement :
• les équilibres asymptotiquement stables ;
• les cycles-limites ;
• les tores bi- ou ^-dimensionnels.
En toute rigueur, la L® catégorie peut être élargie comme l’illustre la figure 11.11, et
la 2® comme le montre la figure 7.2.
Les a t t r a c t e u r s é t r a n g e s
En dehors des trois catégories classiques, il existe une nouvelle catégorie d’attracteurs
mise en évidence en 1963 lors de l’étude de la convection atmosphérique, ainsi qu’on
le présente dans le paragraphe 11.3.4.
Cette nouvelle catégorie présente un ensemble de caractéristiques qu’il semble
a priori difficile de concilier, d’où l’appellation d’attracteur étrange.
On appelle attracteur étrange un attracteur possédant les propriétés suivantes :
• il est borné (donc compact car tout ensemble-limite est fermé) ;
• sa dimension fractale d dans R" satisfait 2 < d < n;
• toute trajectoire issue de l’attracteur est sensible aux conditions initiales, notion
définie au paragraphe 11.3.2.
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Exercice 1 1 .2 E n sem b les sta b les, en sem b les-lim ites, a ttra ctio n
On considère un système localement lipschitzien sur Î2 c W\ Le but de l’exercice est
de montrer que, si A est une partie de O, il n’existe aucune implication entre les trois
propriétés suivantes (ou les propriétés contraires) :
- A est stable ;
- A est rensemble-limite d’un point xq G O ;
- A attire un ensemble B de mesure de Lebesgue positive.
On montrera par des exemples que les 2^ = 8 cas d’observation ou non de ces propriétés se réalisent effectivement.
On notera que lorsque les trois propriétés sont réalisées, A est par définition un
attracteur.
■a O
c
D
Q
kD
O
rM
(S)
X I
C T I
>•
Q.
O
U
Les a t t r a c t e u r s c l a s s i q u e s
Jusque dans les années 1960, et bien qu’on pût pressentir depuis les travaux déjà
anciens de Poincaré que les comportement chaotiques réservaient des surprises, les
attracteurs dûment répertoriés se classaient dans trois catégories seulement :
• les équilibres asymptotiquement stables ;
• les cycles-limites ;
• les tores bi- ou ^-dimensionnels.
En toute rigueur, la L® catégorie peut être élargie comme l’illustre la figure 11.11, et
la 2® comme le montre la figure 7.2.
Les a t t r a c t e u r s é t r a n g e s
En dehors des trois catégories classiques, il existe une nouvelle catégorie d’attracteurs
mise en évidence en 1963 lors de l’étude de la convection atmosphérique, ainsi qu’on
le présente dans le paragraphe 11.3.4.
Cette nouvelle catégorie présente un ensemble de caractéristiques qu’il semble
a priori difficile de concilier, d’où l’appellation d’attracteur étrange.
On appelle attracteur étrange un attracteur possédant les propriétés suivantes :
• il est borné (donc compact car tout ensemble-limite est fermé) ;
• sa dimension fractale d dans R" satisfait 2 < d < n;
• toute trajectoire issue de l’attracteur est sensible aux conditions initiales, notion
définie au paragraphe 11.3.2.
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