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11.3. Introduction au chaos
voit se rapprocher de lui une ou plusieurs trajectoires. Néanmoins, il y a de multiples
façons de traduire rigoureusement cette réalité intuitive, et la littérature scientifique
présente effectivement des définitions diverses. Celle que nous donnons ci-après utilise plusieurs notions antérieurement définies.
Nous dirons que A c
est un attracteur s’il possède les trois propriétés suivantes :
• il est l’ensemble-limite d’un point a e Q: A = ùj(a) ;
• il est stable au sens de Liapounov (§ 3.3.1) ;
• son bassin d’attraction est de mesure positive : mes[Arr(A)l > 0.
On remarquera que la notion d’attracteur est beaucoup plus restrictive que celle
d’« ensemble qui attire ». Par exemple, pour le système x = - x dans R, l’ensemble
A = [-1, -1-1] attire R tout entier mais n’est pas un attracteur car il n’est pas un
ensemble-limite.
Exemples et contre-exemples
1.
2.
3.
4.
5.
0 est un attracteur pour le système x = - x dans R".
Pour le système plan défini en coordonnées polaires par p = p(l -p ) et (hors
point 0) par é> = 1, le cercle unité est un attracteur. La figure 7.1 .b en constitue
un portrait de phases.
Si Q. est le tore à deux dimensions (produit cartésien de deux cercles), nous
avons vu que le «flot hélicoïdal irrationnel » (problème 8.1) conduit à des trajectoires partout denses sur le tore. Dans ce cas, Q tout entier est un attracteur.
Le point 0, équilibre stable du système x = 0 dans R n’est pas un attracteur car
A tt(0 ) = {0}, qui est de mesure nulle.
Pour le système plan défini en coordonnées polaires par p = p|l -p | et (hors
point 0) par ^ = 1, le cercle unité n’est pas un attracteur, car il n’est pas stable
au sens de Liapounov. On notera qu’il attire pourtant le disque unité fermé,
qui est de mesure ;r > 0 dans R^.
Figure 1 1.1 2 - Un cyle non attracteur.
6. Dans il = R, l’ensemble A = R_ est stable par le flot x = - jc et a un bassin d’attraction (lui-même) de mesure infinie. Néanmoins, A n’est pas un attracteur car
ce n’est pas un ensemble-limite.
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voit se rapprocher de lui une ou plusieurs trajectoires. Néanmoins, il y a de multiples
façons de traduire rigoureusement cette réalité intuitive, et la littérature scientifique
présente effectivement des définitions diverses. Celle que nous donnons ci-après utilise plusieurs notions antérieurement définies.
Nous dirons que A c
est un attracteur s’il possède les trois propriétés suivantes :
• il est l’ensemble-limite d’un point a e Q: A = ùj(a) ;
• il est stable au sens de Liapounov (§ 3.3.1) ;
• son bassin d’attraction est de mesure positive : mes[Arr(A)l > 0.
On remarquera que la notion d’attracteur est beaucoup plus restrictive que celle
d’« ensemble qui attire ». Par exemple, pour le système x = - x dans R, l’ensemble
A = [-1, -1-1] attire R tout entier mais n’est pas un attracteur car il n’est pas un
ensemble-limite.
Exemples et contre-exemples
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0 est un attracteur pour le système x = - x dans R".
Pour le système plan défini en coordonnées polaires par p = p(l -p ) et (hors
point 0) par é> = 1, le cercle unité est un attracteur. La figure 7.1 .b en constitue
un portrait de phases.
Si Q. est le tore à deux dimensions (produit cartésien de deux cercles), nous
avons vu que le «flot hélicoïdal irrationnel » (problème 8.1) conduit à des trajectoires partout denses sur le tore. Dans ce cas, Q tout entier est un attracteur.
Le point 0, équilibre stable du système x = 0 dans R n’est pas un attracteur car
A tt(0 ) = {0}, qui est de mesure nulle.
Pour le système plan défini en coordonnées polaires par p = p|l -p | et (hors
point 0) par ^ = 1, le cercle unité n’est pas un attracteur, car il n’est pas stable
au sens de Liapounov. On notera qu’il attire pourtant le disque unité fermé,
qui est de mesure ;r > 0 dans R^.
Figure 1 1.1 2 - Un cyle non attracteur.
6. Dans il = R, l’ensemble A = R_ est stable par le flot x = - jc et a un bassin d’attraction (lui-même) de mesure infinie. Néanmoins, A n’est pas un attracteur car
ce n’est pas un ensemble-limite.
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