Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
Exposant de Liapounov en tem ps continu
Soit S le système x = f{x) dont le flot est x(t) =
x q ) et
le système discrétisé
à la période 1, c’est-à-dire le système : x^ = 4>(k, xq) défini pour k e N .
Ce système met en jeu la fonction g associant à x son descendant après écoulement
d’un temps unité : g{x) = 0(1, x). On a en effet l’équation récurrente Xk+\ = g{xk).
Les notions de nombre de Liapounov et d’exposant de Liapounov pour S se définissent par l’intermédiaire du système S o associé, c’est-à-dire :
Le n o m b r e d e L i a p o u n o v et l ’e x p o s a n t d e L i a p o u n o v de l’orbite Orb{xQ) associés à la direction ii sont le nombre de Liapounov et l’exposant de Liapounov
de l’orbite { x q , x \ , X 2, ...} du système S o -
■a O c D
Q
I
O
rsl
X I
>•
Q .
O
U
Ces nombres sont, soulignons-le, associés au couple (jcq, w ), avec u unitaire G W \
T r a je c to ir e s chaotiques
La notion d’exposant de Liapounov mesure la vitesse de divergence de deux trajectoires et permet de préciser la définition du chaos. La trajectoire 0(r, jcq) est dite
c h a o t i q u e si et seulement si :
• Orb^(xo) est bornée ;
• iu(xo) ne connaît aucun des trois destins prescrits par le théorème de PoincaréBendixson ;
• il existe U e
unitaire tel que l’exposant de Liapounov associé à (.vo, u) soit
strictement positif : h{xo, u) > 0. On appelle cette propriété la s e n s i b i l i t é a u x
c o n d i t i o n s i n i t i a l e s , en abrégé « sensibilité aux C.L » ou encore S.C.L
Ainsi, le chaos correspond-il à un c i n q u i è m e t y p e d e d e s t i n , ou destin n° 5, marqué
par la sensibilité aux conditions initiales (traduite par h > 0). On connaissait déjà des
exemples élémentaires donnant h > 0, par exemple le système x = x dans R'^ Mais la
divergence mutuelle des trajectoires se fait dans ce cas en environnement non borné,
alors que notre définition du chaos impose une évolution bornée, qu’on peut traduire
par « diverger sans s’enfuir ».
Avant d’illustrer ce nouveau type de destin par un exemple emprunté aux sciences
de l’environnement (convection atmosphérique), nous allons définir quelques notions
nécessaires à sa compréhension.
11.3.3 Attracteurs
La théorie des systèmes dynamiques emprunte au vocabulaire courant le mot « attirer » et ses dérivés, pour désigner le fait qu’un ensemble, alors appelé attracteur.
172
Exposant de Liapounov en tem ps continu
Soit S le système x = f{x) dont le flot est x(t) =
x q ) et
le système discrétisé
à la période 1, c’est-à-dire le système : x^ = 4>(k, xq) défini pour k e N .
Ce système met en jeu la fonction g associant à x son descendant après écoulement
d’un temps unité : g{x) = 0(1, x). On a en effet l’équation récurrente Xk+\ = g{xk).
Les notions de nombre de Liapounov et d’exposant de Liapounov pour S se définissent par l’intermédiaire du système S o associé, c’est-à-dire :
Le n o m b r e d e L i a p o u n o v et l ’e x p o s a n t d e L i a p o u n o v de l’orbite Orb{xQ) associés à la direction ii sont le nombre de Liapounov et l’exposant de Liapounov
de l’orbite { x q , x \ , X 2, ...} du système S o -
■a O c D
Q
I
O
rsl
X I
>•
Q .
O
U
Ces nombres sont, soulignons-le, associés au couple (jcq, w ), avec u unitaire G W \
T r a je c to ir e s chaotiques
La notion d’exposant de Liapounov mesure la vitesse de divergence de deux trajectoires et permet de préciser la définition du chaos. La trajectoire 0(r, jcq) est dite
c h a o t i q u e si et seulement si :
• Orb^(xo) est bornée ;
• iu(xo) ne connaît aucun des trois destins prescrits par le théorème de PoincaréBendixson ;
• il existe U e
unitaire tel que l’exposant de Liapounov associé à (.vo, u) soit
strictement positif : h{xo, u) > 0. On appelle cette propriété la s e n s i b i l i t é a u x
c o n d i t i o n s i n i t i a l e s , en abrégé « sensibilité aux C.L » ou encore S.C.L
Ainsi, le chaos correspond-il à un c i n q u i è m e t y p e d e d e s t i n , ou destin n° 5, marqué
par la sensibilité aux conditions initiales (traduite par h > 0). On connaissait déjà des
exemples élémentaires donnant h > 0, par exemple le système x = x dans R'^ Mais la
divergence mutuelle des trajectoires se fait dans ce cas en environnement non borné,
alors que notre définition du chaos impose une évolution bornée, qu’on peut traduire
par « diverger sans s’enfuir ».
Avant d’illustrer ce nouveau type de destin par un exemple emprunté aux sciences
de l’environnement (convection atmosphérique), nous allons définir quelques notions
nécessaires à sa compréhension.
11.3.3 Attracteurs
La théorie des systèmes dynamiques emprunte au vocabulaire courant le mot « attirer » et ses dérivés, pour désigner le fait qu’un ensemble, alors appelé attracteur.
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