11.3. Introduction au chaos
et
zi) proches pour tout t. Il n’y a donc pas de phénomène de sensibilité aux
conditions initiales, notion précisée ci-après. En raison de ces propriétés, et pour ne
pas mettre en défaut l’acception intuitive de l’adjectif « chaotique », les trajectoires
ne sont pas qualifiées de chaotiques.
Il convient de donner maintenant une première définition du chaos. On appellera
chaotique une trajectoire qui, tout en restant bornée pour r — » oo :
- échappe aux 3 destins décrits par le théorème de Poincaré-Bendixson ;
- présente de plus une sensibilité particulière aux conditions initiales.
La « sensibilité particulière » sera décrite au moyen de la notion d’exposant de Liapounov, que nous connaissons déjà mais pour les systèmes à temps discret. Notons
aussi que l’existence même de trajectoires chaotiques n’est pas triviale. Le chaos
constituera un destin du cinquième type.
■a
O c D
Q
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
Les tores KAM
Le flot hélicoïdal irrationnel sur le tore (problème 8.1) est un exemple de trajectoire
quasi-périodique. Au milieu du XX® siècle, a été établi l’important t h é o r è m e K A M ,
qui implique des trajectoires quasi-périodiques sur des tores multidimensionnels. Ce
théorème dont le premier énoncé en 1954 est dû à Kolmogorov a été démontré une décennie plus tard par Arnold et Moser (d’où les initiales KAM). On sait qu’un système
hamiltonien ne peut pas avoir d’équilibre asymptotiquement stable (exercice 6.1). Le
théorème KAM donne une autre propriété importante de certains systèmes hamiltoniens perturbés : la possible conservation de tores invariants par le flot, sur lesquels
le mouvement est quasi-périodique.
11.3.2 Trajectoires chaotiques : définition
Au chapitre précédent nous avons défini, pour le système Xn+i = f(Xn) à temps
discret :
§ • le nombre de Liapounov de l’orbite Orb[xo] associé au couple (.tq, u) par :
I
L{xo, u) = lim ||(Vy;t,„., O ... O V/^ O V
(avec u unitaire)
g
m —>oo
S
I
ceci, si la limite existe ;
c
1 • l’exposant de Liapounov de l’orbite Orb[xo \ associé au couple (x'o, u) par :
c
û .
P
2
1
I
h{xo, u) = lim - In
O ... O V/.Ç, o V/.t„)(K)ll (avec u unitaire)
ni^OO ffl
-O c c
g
ceci, si la limite existe. On a h(xQ, u) = ln[L(xo, w)].
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et
zi) proches pour tout t. Il n’y a donc pas de phénomène de sensibilité aux
conditions initiales, notion précisée ci-après. En raison de ces propriétés, et pour ne
pas mettre en défaut l’acception intuitive de l’adjectif « chaotique », les trajectoires
ne sont pas qualifiées de chaotiques.
Il convient de donner maintenant une première définition du chaos. On appellera
chaotique une trajectoire qui, tout en restant bornée pour r — » oo :
- échappe aux 3 destins décrits par le théorème de Poincaré-Bendixson ;
- présente de plus une sensibilité particulière aux conditions initiales.
La « sensibilité particulière » sera décrite au moyen de la notion d’exposant de Liapounov, que nous connaissons déjà mais pour les systèmes à temps discret. Notons
aussi que l’existence même de trajectoires chaotiques n’est pas triviale. Le chaos
constituera un destin du cinquième type.
■a
O c D
Q
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
Les tores KAM
Le flot hélicoïdal irrationnel sur le tore (problème 8.1) est un exemple de trajectoire
quasi-périodique. Au milieu du XX® siècle, a été établi l’important t h é o r è m e K A M ,
qui implique des trajectoires quasi-périodiques sur des tores multidimensionnels. Ce
théorème dont le premier énoncé en 1954 est dû à Kolmogorov a été démontré une décennie plus tard par Arnold et Moser (d’où les initiales KAM). On sait qu’un système
hamiltonien ne peut pas avoir d’équilibre asymptotiquement stable (exercice 6.1). Le
théorème KAM donne une autre propriété importante de certains systèmes hamiltoniens perturbés : la possible conservation de tores invariants par le flot, sur lesquels
le mouvement est quasi-périodique.
11.3.2 Trajectoires chaotiques : définition
Au chapitre précédent nous avons défini, pour le système Xn+i = f(Xn) à temps
discret :
§ • le nombre de Liapounov de l’orbite Orb[xo] associé au couple (.tq, u) par :
I
L{xo, u) = lim ||(Vy;t,„., O ... O V/^ O V
(avec u unitaire)
g
m —>oo
S
I
ceci, si la limite existe ;
c
1 • l’exposant de Liapounov de l’orbite Orb[xo \ associé au couple (x'o, u) par :
c
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2
1
I
h{xo, u) = lim - In
O ... O V/.Ç, o V/.t„)(K)ll (avec u unitaire)
ni^OO ffl
-O c c
g
ceci, si la limite existe. On a h(xQ, u) = ln[L(xo, w)].
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