Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
1 1.3
In t r o d u c t i o n a u c h a o s
La notion de chaos est intuitivement associée aux notions de désordre, de complexité
et de turbulence. Aucun des trois destins assignés à une trajectoire par le théorème de
Poincaré-Bendixson ne peut être qualifié de chaotique.
• On va dans un premier temps examiner deux exemples de dérogation au théorème
de Poincaré-Bendixson ; les trajectoires correspondantes gardent néanmoins une
définition géométrique simple.
• Ensuite (§ 11.3.2) nous donnerons une définition du chaos, qui correspond à des
situations plus complexes.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
xz
O J
>Q.
O
U
11.3.1 Un quatrième destin non chaotique
Le théorème de Poincaré-Bendixson met en jeu un système de dimension 2 dans
Î2 c R^. Pour sortir de ce contexte, il est nécessaire :
• soit, en gardant la dimension locale 2, de choisir une topologie globale de différente de celle de R^. C’est précisément ce que nous avons fait au § 8.5 en considérant un flot hélicoïdal sur le tore. Le théorème de Poincaré-Bendixson ne s’applique alors pas. Mais l’expression de chacun des trois destins du théorème garde
a
un sens en dimension et topologie globale quelconques, et le cas ^ ^ Q
notations du § 8.5) met au jour un nouveau type de destin pour une trajectoire.
En effet, il n’y a pas d’équilibre et, zo étant un point quelconque du tore, (p{t, zo)
s’approche infiniment souvent arbitrairement près de tout point du tore. Donc,
iu(zo) = 7" et par conséquent :
- ùj(zo) n’est pas un équilibre : la trajectoire ne connaît pas le destin n° 1 ;
- tout point de iu(zo) est régulier, mais aucun n’a pour ensemble-limite un équilibre : la trajectoire ne connaît donc pas le destin n° 2 ;
- cxj(zo) n’est pas une orbite périodique. La trajectoire échappe aussi au destin n° 3.
C’est donc bien un d e s t i n d u q u a t r i è m e t y p e , ou destin n° 4, que
évidence.
on a mis en
• soit de se placer dans c R'^ avec n > 2 . 0 n peut par exemple plonger dans R^ le
tore précédemment évoqué, donc muni d’un flot hélicoïdal irrationnel, et étendre
ce dernier de façon convenable à un domaine de R'^.
Dans les deux exemples évoqués, les trajectoires obtenues présentent un haut degré de
régularité. Sur T, le flot s’exprime d’ailleurs analytiquement d’une façon très simple :
0(L ^o) = Zo+a t, à une congruence près modulo 1 sur chacune des deux coordonnées.
De plus, deux états initiaux zo et zi proches donnent lieu à des trajectoires 0(L zo)
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In t r o d u c t i o n a u c h a o s
La notion de chaos est intuitivement associée aux notions de désordre, de complexité
et de turbulence. Aucun des trois destins assignés à une trajectoire par le théorème de
Poincaré-Bendixson ne peut être qualifié de chaotique.
• On va dans un premier temps examiner deux exemples de dérogation au théorème
de Poincaré-Bendixson ; les trajectoires correspondantes gardent néanmoins une
définition géométrique simple.
• Ensuite (§ 11.3.2) nous donnerons une définition du chaos, qui correspond à des
situations plus complexes.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
xz
O J
>Q.
O
U
11.3.1 Un quatrième destin non chaotique
Le théorème de Poincaré-Bendixson met en jeu un système de dimension 2 dans
Î2 c R^. Pour sortir de ce contexte, il est nécessaire :
• soit, en gardant la dimension locale 2, de choisir une topologie globale de différente de celle de R^. C’est précisément ce que nous avons fait au § 8.5 en considérant un flot hélicoïdal sur le tore. Le théorème de Poincaré-Bendixson ne s’applique alors pas. Mais l’expression de chacun des trois destins du théorème garde
a
un sens en dimension et topologie globale quelconques, et le cas ^ ^ Q
notations du § 8.5) met au jour un nouveau type de destin pour une trajectoire.
En effet, il n’y a pas d’équilibre et, zo étant un point quelconque du tore, (p{t, zo)
s’approche infiniment souvent arbitrairement près de tout point du tore. Donc,
iu(zo) = 7" et par conséquent :
- ùj(zo) n’est pas un équilibre : la trajectoire ne connaît pas le destin n° 1 ;
- tout point de iu(zo) est régulier, mais aucun n’a pour ensemble-limite un équilibre : la trajectoire ne connaît donc pas le destin n° 2 ;
- cxj(zo) n’est pas une orbite périodique. La trajectoire échappe aussi au destin n° 3.
C’est donc bien un d e s t i n d u q u a t r i è m e t y p e , ou destin n° 4, que
évidence.
on a mis en
• soit de se placer dans c R'^ avec n > 2 . 0 n peut par exemple plonger dans R^ le
tore précédemment évoqué, donc muni d’un flot hélicoïdal irrationnel, et étendre
ce dernier de façon convenable à un domaine de R'^.
Dans les deux exemples évoqués, les trajectoires obtenues présentent un haut degré de
régularité. Sur T, le flot s’exprime d’ailleurs analytiquement d’une façon très simple :
0(L ^o) = Zo+a t, à une congruence près modulo 1 sur chacune des deux coordonnées.
De plus, deux états initiaux zo et zi proches donnent lieu à des trajectoires 0(L zo)
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