11.2. Théorème de Poincaré-Bendixson
• 6t>(zo) est formé d ’équilibres du système ;
• ùj(zo) contient un point régulier du système, et chacun de ses points admet pour
ensemble-limite un équilibre ;
• co{zo) est une orbite périodique propre (non réduite à un point).
Nous avons vu au paragraphe 7.1 que Orb'^(x) borné implique a>(x) connexe. Ceci
s’applique au point zo du théorème : dans chacun des trois destins, oj(zo) est connexe.
Dans l’hypothèse d’équilibres isolés, le premier destin se précise ainsi : ru(zo) est
un équilibre du système.
T J
O c rj
û
« JD
tH
O
rs]
gj
‘s_
>.
C L
O
U
û
©
Un exemple
Le portrait de phases de la figure 11.10 montre plusieurs équilibres, dont e], C2
et e^. Pour ce système :
- a connaît le destin n° 1 : cj(a) = ei, qui est un équilibre; de même, pour tout
équilibre
on a ùj(ei) = e-, ;
- b connaît le destin n° 2 : iü{h) = triangle curviligne T|, qui n’est pas une orbite.
Tout point de ce triangle a pour ensemble-limite un équilibre : e\ ou 6 2 ou ^3 ;
- 6- et J connaissent le destin n° 3 : oj{c) = cü{d) = cycle T2, qui est une orbite
périodique.
Fig lire 1 1 .1 0 - Illustration des trois destins.
Un autre exemple
La trajectoire figurée dans le schéma suivant correspond au cas où les équilibres
du système ne sont pas isolés. Le point zo connaît le destin nM : il admet l’étoile
[a, b] U [a, c\ U [a, d] comme ensemble-limite.
Fig u re 11.11- une physionomie possible du
destin.
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