Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
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11.2
T h é o r è m e d e P o i n c a r é - B e n d i x s o n
Les trois destins. Le théorème de Poincaré-Bendixson
Supposons Orb'^izo) borné. Alors, on sait que cu(zo) est non-vide et connexe. Il y a
deux cas possibles.
1) ùj{zç)) est constitué d’équilibres : alors, il est formé d’un équilibre unique car il
est connexe et les équilibres sont isolés. Ceci constitue ce que nous appellerons le
d e s t i n d u p r e m i e r t y p e , ou destin n° 1.
2) ùj{zo) contient au moins un point régulier : il y a alors deux possibilités :
a) cxj(u) est constitué d’équilibres : mais d’après la propriété de transitivité, on a
ù)(u) c 6u(zo)- Comme oj(zo) est borné, oj(u) l’est aussi.
Ici, U jouant le rôle que jouait zo dans le cas I, cü(u) se réduit à un équilibre.
C’est le d e s t i n d u d e u x i è m e t y p e , ou destin n° 2.
b) si ù){u) contient Z régulier, Orb{u) est périodique d’après le lemme 5 ; oj{zq)
étant la réunion des orbites de ses points, ru(zo) contient Orb(u). Le lemme 6
impose alors tu(zo) = Orb(u), ce qui est le d e s t i n d u t r o i s i è m e t y p e , ou destin
n° 3.
La trajectoire de zo ne peut donc connaître que trois types de destins, traduits par la
nature de ru(zo). Cet ensemble-limite :
- ou bien est un équilibre du système ;
- ou bien contient un point régulier du système : chacun de ses points admet alors
pour ensemble-limite un équilibre ;
- ou bien est une orbite périodique propre (non réduite à un point).
Si on abandonne l’hypothèse d’équilibres isolés, un raisonnement que nous ne détaillerons pas, mais qui est de même nature que ceux utilisés ci-avant, conduit à généraliser le premier destin : îu(zo) n’est alors plus nécessairement un équilibre du
système, mais un ensemble formé d’équilibres.
En résumé, nous obtenons l’important théorème suivant, qui permet de cataloguer
les destins possibles d’une trajectoire en dimension 2 :
Théorème de Poincaré-Bendixson
Soit X = f(x) un système défini sur un domaine Î2 de R^, et zq ^ O. tels que :
- f est de classe
;
- Orb^{z{)) est borné.
Alors, il existe exactement trois possibilités mutuellement exclusives pour
Vensemble-limite oj(zo) :
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T h é o r è m e d e P o i n c a r é - B e n d i x s o n
Les trois destins. Le théorème de Poincaré-Bendixson
Supposons Orb'^izo) borné. Alors, on sait que cu(zo) est non-vide et connexe. Il y a
deux cas possibles.
1) ùj{zç)) est constitué d’équilibres : alors, il est formé d’un équilibre unique car il
est connexe et les équilibres sont isolés. Ceci constitue ce que nous appellerons le
d e s t i n d u p r e m i e r t y p e , ou destin n° 1.
2) ùj{zo) contient au moins un point régulier : il y a alors deux possibilités :
a) cxj(u) est constitué d’équilibres : mais d’après la propriété de transitivité, on a
ù)(u) c 6u(zo)- Comme oj(zo) est borné, oj(u) l’est aussi.
Ici, U jouant le rôle que jouait zo dans le cas I, cü(u) se réduit à un équilibre.
C’est le d e s t i n d u d e u x i è m e t y p e , ou destin n° 2.
b) si ù){u) contient Z régulier, Orb{u) est périodique d’après le lemme 5 ; oj{zq)
étant la réunion des orbites de ses points, ru(zo) contient Orb(u). Le lemme 6
impose alors tu(zo) = Orb(u), ce qui est le d e s t i n d u t r o i s i è m e t y p e , ou destin
n° 3.
La trajectoire de zo ne peut donc connaître que trois types de destins, traduits par la
nature de ru(zo). Cet ensemble-limite :
- ou bien est un équilibre du système ;
- ou bien contient un point régulier du système : chacun de ses points admet alors
pour ensemble-limite un équilibre ;
- ou bien est une orbite périodique propre (non réduite à un point).
Si on abandonne l’hypothèse d’équilibres isolés, un raisonnement que nous ne détaillerons pas, mais qui est de même nature que ceux utilisés ci-avant, conduit à généraliser le premier destin : îu(zo) n’est alors plus nécessairement un équilibre du
système, mais un ensemble formé d’équilibres.
En résumé, nous obtenons l’important théorème suivant, qui permet de cataloguer
les destins possibles d’une trajectoire en dimension 2 :
Théorème de Poincaré-Bendixson
Soit X = f(x) un système défini sur un domaine Î2 de R^, et zq ^ O. tels que :
- f est de classe
;
- Orb^{z{)) est borné.
Alors, il existe exactement trois possibilités mutuellement exclusives pour
Vensemble-limite oj(zo) :
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