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11.1. Ensembles-limites en dimension 2
• H y p o th è s e : z ^ F
Étant un cycle, f est fermé. Par conséquent, la distance d = d(z, F) de z ^ F est
strictement positive ; oj(zo) étant connexe et comprenant T, on peut trouver une suite
de points Zn de oj(zo) hors de F et arbitrairement proches de F :
Vw G N*, 3zn e cxj(zo) - r , avec d{Zn, H < djn.
Le fragment d’orbite Orb^izo) étant borné, 6u(zo) l’est aussi, donc également la suite
fcî)nEN*- Il on résulte que Zn a au moins un point d’accumulation u. Comme la distance
de Z/2 à r tend vers 0, on a nécessairement d{u, F) = 0. Mais F, orbite périodique, est
fermé. Donc, u e F. Élément d’un cycle, u est régulier et il existe donc un d-losange
Ds(u) centré sur u. Ce (5-losange contient un z,î, et on a donc le schéma suivant.
Ce schéma montre que oj(zo) H Dô(u) n’est pas un fragment d’orbite de w, contrairement à ce qu’indique le lemme 3, ceci à cause de 1’ « intrus » Zn- H y a contradiction,
et on doit donc écarter l’hypothèse initiale z ^ F. Donc, z ^ F,ce qu’on peut exprimer
ainsi :
Le m m e 6
Soit zo tel que Orb^(zo) est borné.
Si ù)(zo) contient une orbite périodique, ru(zo)
cette orbite périodique.
Remarquons que le portrait de phases suivant qui
semble en premier examen déroger à ce résultat
n’y déroge pas. En effet, le cercle F n’est pas
une orbite périodique, en raison de la présence de
l’équilibre a.
Fig u re 1 1 .9 - r n’est pas
une orbite.
û
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