• Par transitivité : u e oj{zo) et z e ùj(u) = > z e oj(zo)• Par invariance des ensembles-limites : u e ùj(zo) = > Orb(u) c a>(zo)• D’après le lemme 3 :
Z G ùj(zo) \
I ùj(zo) n Dâ(z) est un fragment d’orbite S ^
Z régulier J ^ \
traversant D^(z)
Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
W (Z o )
■ D
O
C
D
û
tH
O
r M
(y)
S I
>•
Q.
O
U
co(tv) ( c c û ( Z o ) )
Fig u re 1 1 .7 - z, point régulier de o j(u ).
Z 6 ¿ü(u) implique l’existence de points de Orb{u) arbitrairement proches de z.
Il en existe donc qui appartiennent à Dô(z). Soit y un tel point. Il est régulier, car
élément de Orb{u) avec u régulier. Comme Orb(u) c a>(zo) :
y e Orb{u) n Dô{z)
^ ^ oj(zo) C Ds(z)
y e Sz (d’après le lemme 3)
y ^ Orb(z)
Donc, Orb(u) n Orb(z) ^ 0, ce qui montre que Orb(u) = Orb{z).
z G ùj{u) 1
j u e ùj{u) car tout ensemble-limite est la réunion
u e Orb(z) J
\ des orbites de ses points (invariance).
Il résulte du lemme 4 que Orb{u) est une orbite périodique.
On retiendra :
Le m m e 5
Si w e oj(zo) et si oj{u) contient un point régulier, alors Orb{u) est périodique.
Dans ce résultat, il faut bien noter que u appartient à un ensemble-limite. Si ce
n’est pas le cas, Orb{u) n’a aucune raison d’être périodique, comme le montrent de
nombreux exemples.
É ta p e 6 : si co(zo) contient un c y c le , il coïncide a v e c lui
On se place dans le cas où Orb^(zo) est borné. Alors, îu(zo) est connexe (propriété de
connexité des ensembles-limites). Soit F un cycle (orbite périodique) contenu dans
ùj{zo), et soit z e îu(zo)166