11.1. Ensembles-limites en dimension 2
Exercice 11.1 Rencontre orbite - section transverse
Soit zo un point régulier du système z = f(z), avec z e
et / continue.
Les coordonnées x et ^ du plan sont choisies de telle façon que zo = | q| et /'(0 ) =
Soit L un segment ouvert vertical contenant 0, ne portant aucun équilibre et n’étant
en aucun point parallèle au flot. On l’appelle pour cela section transverse.
Montrer que si l’orbite de zo coupe L aux temps t\ et t2 , alors elle ne coupe L qu’un
nombre fini de fois entre et t2 > t\.
É ta p e 4 : c a s d ’un point qui appartient à son ensemble limite
Supposons que zo ^ cj(zo), Zo étant un point régulier. D’après ce qui précède, 0(r, zo)
visite pour r > 0 une infinité de fois le losange D§{zo), et traverse L chaque fois.
Donc, partant de zo à r = 0, la trajectoire recoupe L à Ti < i2 <• - < tn
‘ ^ avec
lim tn = oo (le fait de pouvoir ordonner ainsi les temps tj d’intersection est justifié
n —>oo
par l’exercice 11.1). Or, lim
zo) = Zo- Comme
zo) est monotone sur L, on
t —)oo
a nécessairement Vn e N*,
zo) =
• la trajectoire est périodique de période
t2 ~ t\.
Si maintenant zo est un équilibre, son ensemble limite se réduit naturellement à un
point : iu(zo) = zo.
Résumons :
■a O
c
=3
Q
t H
O
rsl
ai
>Q.
O
U
Q
@
L e m m e 4
Si Zo appartient à son ensemble limite, alors :
- ou bien Zo est un point régulier, et son orbite est alors périodique ;
- ou bien Zo est un équilibre.
R e m a r q u e s
1. On déduit de ce résultat que si zo n’est ni un équilibre ni un point d’une orbite périodique, il n’appartient pas à son ensemble-limite. Observons que cette remarque
inclut le cas où ùj(zo) est l’ensemble vide.
2. Nous rencontrerons au § 11.3.1 (deuxième exemple) le flot irrationnel sur le tore,
qui déroge au lemme 4; ce dernier devient donc invalide dès la dimension 3, et
même en dimension 2 avec une topologie autre que celle de R^.
É ta p e 5 : le s points réguliers de w (w ) a v e c u e a > ( z o )
Soit Z un point régulier de co(u), avec u e oj(zo) ; w est nécessairement régulier (sinon,
cü(u) = U, équilibre).
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Exercice 11.1 Rencontre orbite - section transverse
Soit zo un point régulier du système z = f(z), avec z e
et / continue.
Les coordonnées x et ^ du plan sont choisies de telle façon que zo = | q| et /'(0 ) =
Soit L un segment ouvert vertical contenant 0, ne portant aucun équilibre et n’étant
en aucun point parallèle au flot. On l’appelle pour cela section transverse.
Montrer que si l’orbite de zo coupe L aux temps t\ et t2 , alors elle ne coupe L qu’un
nombre fini de fois entre et t2 > t\.
É ta p e 4 : c a s d ’un point qui appartient à son ensemble limite
Supposons que zo ^ cj(zo), Zo étant un point régulier. D’après ce qui précède, 0(r, zo)
visite pour r > 0 une infinité de fois le losange D§{zo), et traverse L chaque fois.
Donc, partant de zo à r = 0, la trajectoire recoupe L à Ti < i2 <• - < tn
‘ ^ avec
lim tn = oo (le fait de pouvoir ordonner ainsi les temps tj d’intersection est justifié
n —>oo
par l’exercice 11.1). Or, lim
zo) = Zo- Comme
zo) est monotone sur L, on
t —)oo
a nécessairement Vn e N*,
zo) =
• la trajectoire est périodique de période
t2 ~ t\.
Si maintenant zo est un équilibre, son ensemble limite se réduit naturellement à un
point : iu(zo) = zo.
Résumons :
■a O
c
=3
Q
t H
O
rsl
ai
>Q.
O
U
Q
@
L e m m e 4
Si Zo appartient à son ensemble limite, alors :
- ou bien Zo est un point régulier, et son orbite est alors périodique ;
- ou bien Zo est un équilibre.
R e m a r q u e s
1. On déduit de ce résultat que si zo n’est ni un équilibre ni un point d’une orbite périodique, il n’appartient pas à son ensemble-limite. Observons que cette remarque
inclut le cas où ùj(zo) est l’ensemble vide.
2. Nous rencontrerons au § 11.3.1 (deuxième exemple) le flot irrationnel sur le tore,
qui déroge au lemme 4; ce dernier devient donc invalide dès la dimension 3, et
même en dimension 2 avec une topologie autre que celle de R^.
É ta p e 5 : le s points réguliers de w (w ) a v e c u e a > ( z o )
Soit Z un point régulier de co(u), avec u e oj(zo) ; w est nécessairement régulier (sinon,
cü(u) = U, équilibre).
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