Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
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Par conséquent, D\ et D2, donc aussi L, sont traversés par la trajectoire (p(t, zo)
pour r > 0 en des instants arbitrairement grands. Soit t\ un temps de traversée de
L n D |, et /2 > t\ un temps de traversée de L D D 2. Alors, il existe un temps > /2
de traversée de L n Di, ce qui contredit le lemme de monotonie. Abandonnant donc
l’hypothèse u 4^ zl, on a nécessairement u — zl, ce qui implique z e T^. Les deux
orbites figurées Orb(u) et Orb(z) sont donc confondues.
Le m m e 3
Si u est un point régulier d’un ensemble limite, ce dernier coïncide dans un voisinage de u avec un fragment d’orbite.
Hors des points d’équilibre, un ensemble-limite peut donc être fléché, comme l’est
la trajectoire localement confondue.
L’exemple du portrait de phases suivant montre que dans certains cas, un ensemblelimite, en l’occurence 6l>(zo) = [a, b] ne peut pas être fléché. Mais dans cet exemple,
nous n’avons pas observé l’hypothèse d’équilibres isolés faite dans ce paragraphe.
Fig u re 1 1 .6 - Un ensemble-limite non fléchable.
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