11.1. Ensembles-limites en dimension 2
•a
O c
=3
Q
tH
O
rs]
(S)
X I
ai
>C L
O
U
• soit par la courbe C' : c’est encore impossible, car ceci ne s’accorderait pas avec
l’unicité de la solution.
Donc, au-delà de i2, la trajectoire empruntant C' reste confinée à l’intérieur de C.
Elle ne saurait par conséquent couper L, pour t > Î2, qu’en-dessous de z(t2 ), comme
le montre la figure 11.4.
Figure 1 1.4- Monotonie des rencontres avec L.
Ce résultat s’exprime par le lemme :
L e m m e 2 ( le m m e d e m o n o t o n i e )
Si une trajectoire coupe L en trois instants t\ < ti <
ceci en trois points distincts z{ti), alors : z{t2) est entre z{t\) et zih)Nous avons fait l’hypothèse de z{ti) distincts. En dehors de cette hypothèse, on
trouve le cas d’une orbite périodique, pour laquelle on a z(ri) = z{t2) = ^(^3)É ta p e 3 : ensemble-limite au voisinage d’un point régulier
Nous allons montrer qu’au voisinage d’un point régulier, ù j(zo) est localement un
fragment d’orbite. Soit donc w, point régulier de oj( zo). D’après ce qui précède, il
existe un d-losange Ds(u) centré en u et un fragment de trajectoire T contenant u et
traversant Ds(u), au sens indiqué antérieurement.
Soit Z e iü(zo) n Ds(u) (figure 11.5). Il existe un fragment de trajectoire
contenant Z, traversant Ds{u) et coupant L, diagonale verticale de Ds(u), en zlSi w ^ Zl , il existe deux e-losanges disjoints D\ et D2 centrés en u et zl, et inclus
dans Ds(u).
^ ^
X i
^ ^(^0)
invariance d’un ensemble-limite par le flot.
zl e Orb{z) j
û
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