Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
■a
O c D
Q
kD
O
rs]
gi
>•
C l
O
U
L e m m e 1 ( le m m e d u (5 -lo s a n g e )
Pour tout zo G Dôiu), il existe un fragment d’orbite :
- contenant zo ;
- contenu dans l’ouvert Ds{u) ;
- coupant L.
É ta p e 2 : lemme de monotonie, ou lemme du p iè g e
Ce lemme établit le fait que les points d’intersection d’une trajectoire avec L ont
des ordonnées... ordonnées, ce qui signifie qu’elles sont une fonction monotone des
temps correspondants.
Soient t\ , Î2 et /3 trois instants (attention, ce ne sont pas les r, de l’étape 1) vérifiant :
* h < î2 < h \
*
ziti) et z(t3) e L, tous trois distincts.
Il y a qualitativement deux cas, correspondant aux schémas :
cas I
cas 2
ZH2)
Figure 1 1.3 - Deux cas de retour sur L
Soit C' l’élément d’orbite {z(0 ; ^ ^ [^i> ^2]} et L' l’intervalle vertical ouvert d’extrémités z(ti) Qiz{t2)- Leur réunion forme une courbe fermée C = L'UC'. Intéressonsnous au devenir au-delà de Î2 de la trajectoire z(t) empruntant C' :
- dans le cas 1, z(t) pénètre à l’intérieur de C en /2 ;
- dans le cas 2, z(t) débouche à l’extérieur de C en ^2Nous retiendrons sans perte de généralité le cas 7, car le cas 2 s’y ramène par inversion du temps.
Si z(t) quitte l’intérieur de C à un instant supérieur à t2, il le fait en traversant sa
frontière C :
• soit par le segment Ü : c’est impossible, car il ne pourrait le faire que par une
traversée de droite à gauche, ce qui serait contradictoire avec l’orientation de /(z)
vers la droite ;
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L e m m e 1 ( le m m e d u (5 -lo s a n g e )
Pour tout zo G Dôiu), il existe un fragment d’orbite :
- contenant zo ;
- contenu dans l’ouvert Ds{u) ;
- coupant L.
É ta p e 2 : lemme de monotonie, ou lemme du p iè g e
Ce lemme établit le fait que les points d’intersection d’une trajectoire avec L ont
des ordonnées... ordonnées, ce qui signifie qu’elles sont une fonction monotone des
temps correspondants.
Soient t\ , Î2 et /3 trois instants (attention, ce ne sont pas les r, de l’étape 1) vérifiant :
* h < î2 < h \
*
ziti) et z(t3) e L, tous trois distincts.
Il y a qualitativement deux cas, correspondant aux schémas :
cas I
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Figure 1 1.3 - Deux cas de retour sur L
Soit C' l’élément d’orbite {z(0 ; ^ ^ [^i> ^2]} et L' l’intervalle vertical ouvert d’extrémités z(ti) Qiz{t2)- Leur réunion forme une courbe fermée C = L'UC'. Intéressonsnous au devenir au-delà de Î2 de la trajectoire z(t) empruntant C' :
- dans le cas 1, z(t) pénètre à l’intérieur de C en /2 ;
- dans le cas 2, z(t) débouche à l’extérieur de C en ^2Nous retiendrons sans perte de généralité le cas 7, car le cas 2 s’y ramène par inversion du temps.
Si z(t) quitte l’intérieur de C à un instant supérieur à t2, il le fait en traversant sa
frontière C :
• soit par le segment Ü : c’est impossible, car il ne pourrait le faire que par une
traversée de droite à gauche, ce qui serait contradictoire avec l’orientation de /(z)
vers la droite ;
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