11.1. Ensembles-limites en dimension 2
• Le ô-losange
Appelons (5-losange D¿(w) l’intérieur du carré dont L, de longueur 2 ô, est une diagonale. Nous sacrifions à l’appellation familière de losange pour tout carré présenté
avec une diagonale verticale.
Choisissons dans E =
un repère euclidien déduit par rotation du repère initial,
tel que w = (0, 0) et f(u ) = (a, 0) avec a > 0. Alors, pour tout z e D¿{u), l’angle
(/(«)> f(z)) appartient à ] - n/6 , +t:/6 [, ceci parce que f(z) G S .
Notant /(z) =
on a /i(z) > a/2.
Soit Z{) G Ds(u). La vitesse horizontale de l’état z{t) = (p(t, zo) est supérieure à a/2.
Or, D¿{u) est inclus dans une bande verticale de largeur 26 finie. Donc, il est traversé
par l’état z(0 en un temps fini.
Figure 1 1.2 - Le ^-losange.
■a O c
Z3
Q
yo 1 -H
O rsj
x :
D I
>.
C L
O
U
Appelons :
• t[ le plus grand instant négatif pour lequel l’orbite de zo coupe la frontière de
Dg{ii) ; compte tenu de l’orientation de /(z), ce ne peut être que la frontière gauche
de D^(m), c’est-à-dire la réunion en forme de « < » de ses deux segments d’abscisse
négative ou nulle ;
• Î2 le plus petit instant positif pour lequel l’orbite de zo coupe la frontière D^iu) ;
compte tenu de l’orientation de /(z), ce ne peut être que la frontière droite de D§{u),
c’est-à-dire la réunion en forme de « > » de ses deux segments d’abscisse positive
ou nulle.
Comme le fragment d’orbite {z(0 ; ri < r < ^2} est contenu dans Ds{u), il rencontre
nécessairement L. En résumé, on a le lemme :
û
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