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Le détail des étapes successives contient des fragments de raisonnement intéressants en eux-mêmes et qui seront réutilisables pour résoudre d’autres problèmes. Néanmoins, on pourra en première lecture consulter directement l’énoncé
des lemmes clôturant chacune des étapes, puis aborder la section suivante, qui traite
du théorème de Poincaré-Bendixson.
Hypothèses pour les sections 11.1 et 11.2
Le système x = f(x), avec x G il, domaine de est tel que :
• / est de classe
;
• V ensem ble S des équilibres ne com porte qu e des p oin ts isolés.
On utilise dans ce qui suit des intuitions de géométrie plane (par exemple : une courbe
fermée pourvue de propriétés convenables délimite un intérieur et un extérieur disjoints) tout à fait justifiées, mais dont la validation rigoureuse ex nihilo exigerait
quelques développements complémentaires.
É ta p e 1 : lemme du b - lo s a n g e
Soit U un point régulier, c’est-à-dire tel que f{u)
0. Soit S la boule ouverte de
centre f{u) et de rayon -||/(w)||. Comme / est continue, il existe un disque ouvert
V(u) de centre u tel que jc G V(u) = > f(x ) G !B.
Soit alors L un intervalle ouvert (segment du plan privé de ses extrémités) :
- centré sur U ;
- orthogonal à f{ii) ;
- inclus dans V{ii) ; on appelle ô sa demi-longueur.
Chapitre 11 • Introduction au chaos en temps continu
La troisième propriété exclut un éventuel phénomène de « retour » illustré par ce portrait
de phases.
Fig u re 1 1.1 - Un retour interdit.
L’absence de retour implique que « toute trajectoire assez proche de L coupe L »,
comme le précisera le premier lemme.
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